Calculs semaine 10

Équation, inéquation, calcul littéral et fonction affine

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ l’équation $x^2=64$.

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $64>0$. L’équation $x^2=64$ possède donc deux solutions $\sqrt{64}=8$ et $-\sqrt{64}=-8$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre à l’aide d’un schéma l’inéquation $x^2 < \dfrac{1}{2}$.

Dans la mesure du possible, écrire les bornes à l’aide d’une fraction sans racine carrée au dénominateur (les calculs seront détaillés).

$\quad$

Correction Exercice 2

Or $\sqrt{0,5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

L’ensemble solution de l’inéquation $x^2<\dfrac{1}{2}$ est donc l’intervalle $\left]\dfrac{-\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Développer et réduire l’expression $A=(2x-4)^2-(5x+7)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$$\begin{align*} A&=(2x-4)^2-(5x+7)^2 \\
&=(2x-4)(2x-4)-(5x+7)(5x+7) \\
&=4x^2-8x-8x+16-\left(25x^2+35x+35x+49\right) \\
&=4x^2-16x+16-\left(25x^2+70x+49\right) \\
&=-21x^2-86x-33\end{align*}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Factoriser et réduire l’expression $B=(3x-5)(7x+1)-6x+10$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$$\begin{align*} B&=(3x-5)(7x+1)-6x+10 \\
&=(3x-5)(7x+1)-(6x-10) \\
&=(3x-5)(7x+1)-2(3x-5) \\
&=(3x-5)\left[(7x+1)-2\right] \\
&=(3x-5)(7x-1)\end{align*}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que $f(-2)=\dfrac{1}{3}$ et $f(7)=\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$f$ est une fonction affine. Une expression algébrique de cette fonction est donc $f(x)=ax+b$ pour tout réel $x$.Ainsi $a=\dfrac{f(-2)-f(7)}{-2-7}=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}{-9}=\dfrac{\dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6}}{-9}=\dfrac{~~\dfrac{1}{6}~~}{9}=\dfrac{1}{54}$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{1}{54}x+b$
Or $f(-2)=\dfrac{1}{3} \ssi \dfrac{1}{54}\times (-2)+b=\dfrac{1}{3}\ssi -\dfrac{1}{27}+b=\dfrac{9}{27} \ssi b=\dfrac{10}{27}$
Donc, pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{1}{54}x+\dfrac{10}{27}$

Vérification : $f(7)=\dfrac{7}{54}+\dfrac{10}{27}=\dfrac{7}{54}+\dfrac{20}{54}=\dfrac{27}{54}=\dfrac{1}{2}~ \checkmark$

$\quad$

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$\quad$