$\begin{align*} A(x)&=(7x-9)(13x-4)-(6x-5)(3x-7) \\
&=91x^2-28x-127x+36-\left(18x^2-42x-15x+35\right) \\
&=91x^2-155x+36-\left(18x^2-57x+35\right) \\
&=73x^2+98x-1
\end{align*}$

$\quad$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore on a donc :
$\begin{align*}
AB^2=BC^2+AC^2&\ssi 16^2=5^2+AC^2 \\
&\ssi 256=25+AC^2 \\
&\ssi 231=AC^2
\end{align*}$
$AC$ est une longueur donc $AC>0$ et $AC=\sqrt{231}$.

$\quad$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{AB}{AC}$
Par conséquent $\cos 36=\dfrac{4}{AC} \ssi AC=\dfrac{4}{\cos 36}$.

Remarque : On ne demande pas de valeur approchée dans l’énoncé; il faut donc fournir la valeur exacte.

$\quad$

Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[BC]$.
D’une part $BC^2=99^2=9~801$
D’autre part $AB^2+AC^2=65^2+72^2=4~225+5~184=9~409$
Donc $BC^2\neq AB^2+AC^2$
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

$\quad$

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2=85^2=7~225$
D’autre part $AB^2+BC^2=77^2+36^2=5~929+1~296=7~225$
Par conséquent $AB^2+BC^2=AC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

$\quad$