2nd – Calculs semaine 14 – Calcul littéral, problème, trigonométrie, fonction affine, racine carrée

Calculs semaine 14

Calcul littéral, problème, trigonométrie, fonction affine et racine carrée

Exercice 1

Factoriser l’expression $A=(7x-4)(2x-5)-(8x-3)(2x-5)$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=(7x-4)(2x-5)-(8x-3)(2x-5) \\
&=(2x-5)\left[(7x-4)-(8x-3)\right] \\
&=(2x-5)(7x-4-8x+3)\\
&=(2x-5)(-x-1) \\
&=-(2x-5)(x+1)\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

La longueur d’un rectangle est deux fois plus grande que sa largeur.
Si on augmente chaque côté de $5$ cm alors l’aire du rectangle augmente de $48$ cm$^2$.
Quelles sont les dimensions du premier rectangle?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ la largeur du rectangle. Sa longueur est donc $2x$.
L’aire du rectangle est alors de $2x\times x=2x^2$ cm$^2$.
Le nouveau rectangle a une largeur de $x+5$ cm et une longueur de $2x+5$ cm.
Son aire est alors de $(x+5)(2x+5)$.
On doit donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} (x+5)(2x+5)=2x^2+48 &\ssi 2x^2+5x+10x+25=2x^2+48 \\
&\ssi 15x+25=48 \\
&\ssi 15x=23 \\
&\ssi x=\dfrac{23}{15}
\end{align*}$

La largeur du premier rectangle mesure donc $\dfrac{23}{15}$ cm et sa longueur $2\times \dfrac{23}{15}=\dfrac{46}{15}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on sait que $\sin \widehat{ABC}=0,3$.
Déterminer la valeur de $\cos \widehat{ABC}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On a $\cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1$
$\ssi \cos^2 \widehat{ABC}+0,3^2=1$
$\ssi \cos^2 \widehat{ABC}+0,09=1$
$\ssi \cos^2 \widehat{ABC}=0,91$
$\ssi \cos \widehat{ABC}=\sqrt{0,91}$ ou $ \cos \widehat{ABC}=-\sqrt{0,91}$
Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est positif. Donc $\cos \widehat{ABC}=\sqrt{0,91}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une fonction affine $f$ est telle que $f(4)=9$ et $f(1)=4$.
Déterminer son expression algébrique.

$\quad$

Correction Exercice 4

$f$ est une fonction affine. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=ax+b$.
Son coefficient directeur est $a=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{9-4}{3}=\dfrac{5}{3}$.
Ainsi $f(x)=\dfrac{5}{3}x+b$
De plus
$\begin{align*}
f(4)=9&\ssi \dfrac{5}{3}\times 4+b=9 \\
&\ssi \dfrac{20}{3}+b=9\\
&\ssi b=9-\dfrac{20}{3} \\
&\ssi b=\dfrac{27}{3}-\dfrac{20}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{7}{3}
\end{align*}$
Par conséquent $f(x)=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{7}{3}$.

Vérification : $f(1)=\dfrac{5}{3}\times 1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{12}{3}=4 \checkmark$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Écrire $\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}$ sans racine carrée au dénominateur.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\
&=\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}\\
&=1-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$