Calculs semaine 15

Milieu, problème, calcul littéral, racine carrée, calcul numérique

Exercice 1

Dans un repère $(O;I,J)$ on considère les points $A(4;5)$ et $B(-1;3)$.
Déterminer les coordonnées du point $C$ tel que $B$ soit le milieu du segment $[AC]$.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $\left(x_C;y_C\right)$ les coordonnées du point $C$.
On a ainsi
$\begin{align*}\begin{cases} x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}\\ \\y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}\end{cases} &\ssi \begin{cases} -1=\dfrac{4+x_C}{2} \\\\3=\dfrac{5+y_C}{2}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}-2=4+x_C\\6=5+y_C\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_C=-6\\y_C=1\end{cases}\end{align*}$
Les coordonnées du point $C$ sont donc $(-6;1)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Jeanne travaille dans une librairie. Elle a vendu $23$ livres, les uns à $15$ €, les autres à $28$ € pour une recette totale de $462$ €.
Quel est le nombre de livres de chaque prix vendus par Jeanne?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ le nombre de livres vendus à $15$€. Elle donc vendu $23-x$ livres à $28$ €.
Ainsi $15x+28(23-x)=462 \ssi 15x+644-28x=462 \ssi -13x=-182 \ssi x=14$
Jeanne a donc vendu $14$ livres à $15$ € et $9$ à $28$ €.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Factoriser l’expression $A(x)=2x^2-5x-(3+7x)(5-2x)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} A(x)&=2x^2-5x-(3+7x)(5-2x)\\
&=-x(-2x+5)-(3+7x)(5-2x) \\
&=(5-2x)\left[(-x-(3+7x)\right]\\
&=(5-2x)(-x-3-7x)\\
&=(5-2x)(-3-8x)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel le plus petit possible, le nombre $B=4\sqrt{192}-3\sqrt{147}+2\sqrt{243}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}
B&=4\sqrt{192}-3\sqrt{147}+2\sqrt{243}\\
&=4\sqrt{64\times 3}-3\sqrt{49\times 3}+2\sqrt{81\times 3} \\
&=4\times 8\sqrt{3}-3\times 7\sqrt{3}+2\times 9\sqrt{3} \\
&=32\sqrt{3}-21\sqrt{3}+18\sqrt{3}\\
&=29\sqrt{3}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Écrire sous la forme d’une fraction simplifiée le nombre $C=\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{7}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}C&=\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{7} \\
&=\dfrac{3\times 7}{5\times 7}-\dfrac{6}{35} \\
&=\dfrac{21}{35}-\dfrac{6}{35} \\
&=\dfrac{15}{35} \\
&=\dfrac{3}{7}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$