2nd – Calculs semaine 16 – Milieu, problème et calcul littéral

Calculs semaine 16

Milieu, problème et calcul littéral

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(2;-4)$ et $B(-3;5)$.

  1. Déterminer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[AB]$.
    $\quad$
  2. Calculer $AB$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $K$ est le milieu de $[AB]$.
    Par conséquent
    $\begin{cases} x_K=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x_K=\dfrac{2+(-3)}{2}\\y_K=\dfrac{-4+5}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_K=-\dfrac{1}{2}\\y_K=\dfrac{1}{2}\end{cases}$.
    Le point $K$ a donc pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    AB^2&=\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2 \\
    &=(-3-2)^2+\left(5-(-4)\right)^2 \\
    &=(-5)^2+9^2 \\
    &=25+81 \\
    &=106
    \end{align*}$
    Par conséquent $AB=\sqrt{106}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Claire et Sébastien sont les seuls actionnaires de la société qu’ils dirigent. Ils ont dégagé un bénéfice et décident de se partager le bénéfice de la façon suivante :

  • Claire perçoit $\dfrac{1}{3}$ du bénéfice;
  • Sébastien perçoit $\dfrac{1}{4}$ du bénéfice;
  • ils décident d’investir les $44~000$ euros restants dans l’achat de nouvelles machines.

Combien ont-ils reçu chacun?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ le montant du bénéfice réalisé.

On a donc $x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}x+44~000$
$\ssi x-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{4}x=44~000$
$\ssi \dfrac{12}{12}x-\dfrac{4}{12}x-\dfrac{3}{12}x=44~000$
$\ssi \dfrac{5}{12}x=44~000$
$\ssi x=\dfrac{12}{5}\times 44~000$
$\ssi x=105~600$

Par conséquent Claire a perçu $\dfrac{1}{3}\times 105~600=35~200$ euros et Sébastien $\dfrac{1}{4}\times 105~600=26~400$ euros.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans un repère $(O;I,J)$ on considère le point $A(4;2)$ et le point $B(-2;-4)$. Déterminer les coordonnées du point $C$ tels que $B$ soit le symétrique du point $C$ par rapport au point $A$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Le point $A$ est donc le milieu du segment $[BC]$.
Par conséquent
$\begin{align*}\begin{cases} x_A=\dfrac{x_B+x_C}{2}\\y_K=\dfrac{y_B+y_C}{2}\end{cases} &\ssi \begin{cases} 4=\dfrac{-2+x_C}{2}\\2=\dfrac{-4+y_C}{2} \end{cases} \\ &\ssi \begin{cases} 8=-2+x_C\\4=-4+y_C\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x_C=10\\y_C=8\end{cases}\end{align*}$

Les coordonnées du point $C$ sont donc $(10;8)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Factoriser l’expression suivante $A=(6x-5)^2-(3x-2)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$A=(6x-5)^2-(3x-2)^2$

On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=6x-5$ et $b=3x-2$.

Ainsi
$\begin{align*}A&=\left[(6x-5)-(3x-2)\right]\left[(6x-5)+(3x-2)\right]\\&=(6x-5-3x+2)(6x-5+3x-2)\\&=(3x-3)(9x-7)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$