Calculs semaine 17

Problème, calcul littéral, équation, distances et milieu

Exercice 1

La somme d’un nombre strictement négatif et de $\sqrt{5}$ fois son carré est nulle. Quel est ce nombre?

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $x$ le nombre cherché.
On a donc $x+\sqrt{5}x^2=0 \ssi x\left(1+x\sqrt{5}\right)$=0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $x=0$ ou $1+x\sqrt{5}=0 \ssi x\sqrt{5}=-1\ssi x=-\dfrac{1}{\sqrt{5}} $
$x$ étant strictement négatif, le nombre cherché est $-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Factoriser au maximum l’expression $A(x)=12x^2-84x+147$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A(x)&=12x^2-84x+147 \\
&=3\left(4x^2-28x+49\right) \\
&=3\left((2x)^2-2\times 2x\times 7+7^2\right)\\
&=3(2x-7)^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Résoudre dans $\R$ l’équation $(5x-2)^2=(3x+9)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}(5x-2)^2=(3x+9)^2 &\ssi (5x-2)^2-(3x+9)^2=0 \\
&\ssi \left[(5x-2)-(3x+9)\right]\left[(5x-2)+(3x+9)\right]=0 \\
&\ssi (2x-11)(8x+7)=0\end{align*}$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.

Ainsi :
$$\begin{array}{lcl}
2x-11=0& \qquad \text{ou} \qquad&8x+7=0 \\
\ssi 2x=11&&8x=-7 \\
\ssi x=\dfrac{11}{2}&&x=-\dfrac{7}{8}
\end{array}$$

Les solutions sont $\dfrac{11}{2}$ et $-\dfrac{7}{8}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(-8;4)$, $B(-2;-1)$ et $C(-3;5)$.
Le point $C$ appartient-il au cercle de diamètre $[AB]$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $D$ le centre du cercle de diamètre $[AB]$. Il s’agit donc du milieu du segment $[AB]$.
$x_D=\dfrac{-8-2}{2}=-5$ et $y_D=\dfrac{4+(-1)}{2}=\dfrac{3}{2}$.
On a
$\begin{align*}DC&=\sqrt{\left(-3-(-5)\right)^2+\left(5-\dfrac{3}{2}\right)^2}\\
&=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}\\
&=\sqrt{4+\dfrac{49}{4}}\\
&=\sqrt{\dfrac{65}{4}}\\
&=\dfrac{\sqrt{65}}{2}\end{align*}$
On a
$\begin{align*}AB&=\sqrt{\left(-2-(-8)\right)^2+(-1-4)^2}\\
&=\sqrt{6^2+(-5)^2}\\
&=\sqrt{36+25}\\
&=\sqrt{61}\end{align*}$
Le rayon du cercle est donc $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{61}}{2}\neq DC$.
Le point $C$ n’appartient donc pas au cercle de diamètre $[AB]$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans le plan muni d’un repère $(O;I,J)$ on considère les points $A(-5;3)$, $B(1;5)$ et $C(3;1)$.
Déterminer les coordonnées du point $D$ telles que $ABDC$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $M$ le milieu du segment $[BC]$.
Ainsi $x_M=\dfrac{1+3}{2}=2$ et $y_M=\dfrac{5+1}{2}=3$
$ABDC$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en leur milieu. Par conséquent $M$ est également le milieu de $[AD]$.
Ainsi :
$\begin{align*}
\begin{cases}x_M=\dfrac{x_A+x_D}{2}\\y_M=\dfrac{y_A+y_D}{2}\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2=\dfrac{-5+x_D}{2}\\3=\dfrac{3+y_D}{2}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 4=-5+x_D\\6=3+y_D\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_D=9\\y_D=3\end{cases}
\end{align*}$

Le point $D$ a donc pour coordonnées $(9;3)$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$