2nd – Calculs semaine 18 – Équations, problème, racine carré et calcul littéral

Calculs semaine 18

Équations, problème, racine carré et calcul littéral

Exercice 1

On munit le plan d’un repère $(O;I,J)$. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$ et la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2x-1$.
En résolvant une équation déterminer l’abscisse du point d’intersection des courbes représentant ces deux fonctions.

$\quad$

Correction Exercice 1

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}f(x)=g(x) &\ssi x^2=2x-1\\
&\ssi x^2-2x+1=0 \\
&\ssi (x-1)^2=0 \\
&\ssi x=1\end{align*}$
L’abscisse du point d’intersection des deux courbes est $1$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre dans $\R$ l’équation $(3x-1)^2=(8x+5)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} (3x-1)^2=(8x+5)^2 &\ssi (3x-1)^2-(8x+5)^2=0\\
&\ssi \left[(3x-1)-(8x+5)\right]\left[(3x-1)+(8x+5)\right]=0\\
&\ssi
(-5x-6)(11x+4)=0 \end{align*}$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.

Donc $-5x-6=0 \ssi -5x=6 \ssi x=-\dfrac{6}{5}$
ou $11x+4=0\ssi 11x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{11}$.

Les solutions sont donc $-\dfrac{6}{5}$ et $-\dfrac{4}{11}$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Problème datant de 1650 avant notre ère

Une quantité et son septième additionnés deviennent $19$. Quelle est la quantité?

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $x$ la quantité cherchée.
On a donc $x+\dfrac{x}{7}=19 \ssi \dfrac{8}{7}x=19 \ssi x=\dfrac{~~19~~}{\dfrac{8}{7}} \ssi x= \dfrac{19\times 7}{8}\ssi x=\dfrac{133}{8}$

La solution de l’équation est $\dfrac{133}{8}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire sans racine carrée au dénominateur le nombre $\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}&=\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{5\times 2+\sqrt{6}+15\sqrt{6}+3\times 3}{\left(5\sqrt{2}\right)^2-3} \\
&=\dfrac{10+16\sqrt{6}+9}{50-3}\\
&=\dfrac{19+16\sqrt{6}}{47}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Factoriser $A(x)=5x^2-7$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A(x)&=5x^2-7\\
&=\left(x\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2\\
&=\left(x\sqrt{5}-\sqrt{7}\right)\left(x\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$