2nd – Calculs semaine 19 – Équations, coordonnées, calcul numérique, calcul littéral

Calculs semaine 19

Équations, coordonnées, calcul numérique, calcul littéral

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x+1)^2=(2x-3)(3+2x)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}(2x+1)^2=(2x-3)(3+2x) &\ssi (2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2=(2x)^2-3^2\\
&\ssi 4x^2+4x+1=4x^2-9 \\
&\ssi 4x=-10 \\
&\ssi x=-2,5\end{align*}$

La solution de l’équation est $-2,5$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Dans le plan muni d’un repère $(O;I,J)$ on considère les points $A(3;-2)$, $B(5;4)$ et $C(2;3)$.
Déterminer les coordonnées du point $D$ telles que $DACB$ soit un parallélogramme

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $M$ le milieu de $[AB]$.
Ainsi $x_M=\dfrac{3+5}{2}=4$ et $y_M=\dfrac{-2+4}{2}=1$.
$DACB$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu. $M$ est donc également le milieu de $[DC]$.
Par conséquent :
$4=\dfrac{x_D+2}{2} \ssi 8=x_D+2 \ssi x_D=6$
et $1=\dfrac{y_D+3}{2} \ssi 2=y_D+3 \ssi y_D=-1$

Donc $D$ a pour coordonnées $(6;-1)$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un entier naturel $n$ non nul et on pose $A=\dfrac{3^n}{5^{n+1}}$ et $B=\dfrac{3^{n-1}}{5^n}$.
Comparer les deux nombres $A$ et $B$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A-B&=\dfrac{3^n}{5^{n+1}}-\dfrac{3^{n-1}}{5^n} \\
&=\dfrac{3^n}{5^{n+1}}-\dfrac{3^{n-1}\times 5}{5^{n+1}}\\
&=\dfrac{3^n-3^{n-1}\times 5}{5^{n+1}}\\
&=\dfrac{3^{n-1}(3-5)}{5^{n+1}}\\
&=\dfrac{-2\times 3^{n-1}}{5^{n+1}}\\
&<0\end{align*}$

Par conséquent $A<B$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ l’équation $7x^2+5x=0$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$7x^2+5x=0 \ssi x(7x+5)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $x=0$ ou $7x+5=0 \ssi 7x=-5 \ssi x=-\dfrac{5}{7}$
Les solutions de l’équation sont $0$ et $-\dfrac{5}{7}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Calculer, en fournissant les étapes de calcul, $A=\dfrac{~~\dfrac{2^8}{0,125^{-3}}~~}{\dfrac{16^{-3}}{4^4}}\times \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{38}$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=\dfrac{~~\dfrac{2^8}{0,125^{-3}}~~}{\dfrac{16^{-3}}{4^4}}\times \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{38}\\
&=\dfrac{2^8}{0,125^{-3}}\times \dfrac{4^4}{16^{-3}}\times\left( \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)^{19} \\
&=2^8\times 0,125^3\times 4^4 \times 16^3 \times \dfrac{1}{2^{19}} \\
&=2^8\times \dfrac{1}{8^3}\times \left(2^4\right)^3\times \left(2^2\right)^4 \times \dfrac{1}{2^{19}} \\
&=2^8\times \dfrac{1}{2^9}\times 2^{12}\times 2^8\times \dfrac{1}{2^{19}} \\
&=\dfrac{1}{2}\times 2^{20}\times \dfrac{1}{2^{19}} \\
&=\dfrac{2^{20}}{2^{20}}\\
&=1
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$