Calculs semaine 20

Vecteurs et fonctions

Exercice 1

Dans un repère du plan $\Oij$ on considère les points $A(5;-4)$ et $B(-1;3)$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{BA}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\vect{BA}\left(5-(-1);-4-3\right)$ soit $\vect{BA}(6;-7)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère un parallélogramme $ABCD$ et un point $E$ tel que $\vect{AE}=\vect{AC}+\vect{DB}$.
Démontrer que $B$ est le milieu de $[AE]$.

$\quad$

Correction Exercice 2

On a
$\begin{align*}\vect{BE}&=\vect{BA}+\vect{AE}\\
&=\vect{BA}+\vect{AC}+\vect{DB}\\
&=\vect{DB}+\vect{BA}+\vect{AC}\\
&=\vect{DC}\end{align*}$
De plus, $ABCD$ est un parallélogramme donc $\vect{AB}=\vect{DC}$.
Par conséquent $\vect{AB}=\vect{BE}$ et $B$ est le milieu du segment $[AE]$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Il existe plusieurs unités pour mesurer la température. Le degré Fahrenheit est utilisé, entre autre, aux États-unis et le degré Celcius est largement utilisé dans le reste du monde.
Pour convertir une température en degré Celcius, $T_C$, en dégré Fahrenheit, $T_F$, on utilise la formule suivante : $T_F=\dfrac{9}{5}T_C+32$.
En détaillant votre démarche, déterminer la température pour laquelle les deux unités fournissent la même valeur.

$\quad$

Correction Exercice 3

On veut donc que $T_F=T_C$.
On obtient par conséquent l’équation :
$\begin{align*}T_C=\dfrac{9}{5}T_C+32 &\ssi T_C-\dfrac{9}{5}T_C=32 \\
&\ssi -\dfrac{4}{5}T_C=32 \\
&\ssi T_C=\dfrac{32}{-\dfrac{4}{5}}\\
&\ssi T_C=-40\end{align*}$
Ainsi si $T_C=-40$ alors $T_F=-40$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Dans un repère du plan \Oij on considère les points $R(-2;6)$, $S(7;3)$ et $T(-1;6)$.
Déterminer les coordonnées du point $U$ telles que $\vect{RU}=\dfrac{2}{7}\vect{ST}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{ST}(-1-7;6-3)$ soit $\vect{ST}(-8;3)$.
On a $U(x;y)$. Par conséquent $\vect{RU}\left(x-(2);y-6\right)$ soit $\vect{RU}(x+2;y-6)$.
$\begin{align*}\vect{RU}=\dfrac{2}{7}\vect{ST}&\ssi \begin{cases} x+2=\dfrac{2}{7}\times (-8)\\y-6=\dfrac{2}{7}\times 3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{16}{7}-2\\y=6+\dfrac{6}{7}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{30}{7}\\y=\dfrac{48}{7}\end{cases}\end{align*}$.

Le point $U$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{30}{7};\dfrac{48}{7}\right)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{4x+8}{\sqrt{5-2x}}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour que la racine carrée soit définie il faut que $5-2x\pg 0 \ssi -2x\pg -5 \ssi x\pg 2,5$.
Pour que la fraction soit définie il faut que $\sqrt{5-2x} \neq 0 \ssi 5-2x \neq 0 \ssi x\neq 2,5$.
La fonction $f$ est définie sur $]-\infty;2,5[$.

$\quad$

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$\quad$