Calculs semaine 21

Vecteurs et calcul littéral

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(7,8)$.
Sont-ils colinéaires?

$\quad$

Correction Exercice 1

On a det$\left(\vec{u},\vec{v}\right)=2\times 8-3\times 7=16-21=-5\neq 0$.
Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$ on considère les points $A(-10;-23)$, $B(4;19)$ et $C(25;82)$.
Sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vect{AB}(14;42)$ et $\vect{AC}(35;105)$
det$\left(\vect{AB};\vect{AC}\right)=14\times 105-42\times 35=1~470-1~470=0$.

Par conséquent les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $\vect{AM}=5\vect{BM}$.
Exprimer $\vect{AM}$ en fonction de $\vect{AB}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}\vect{AM}=5\vect{BM}&\ssi \vect{AM}=5\left(\vect{BA}+\vect{AM}\right) \\
&\ssi \vect{AM}=-5\vect{AB}+5\vect{AM}\\
&\ssi -4\vect{AM}=-5\vect{AB}\\
&\ssi \vect{AM}=\dfrac{5}{4}\vect{AB}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $M$ et $N$ tels que $\vect{BM}=2\vect{CA}$ et $\vect{AN}=\dfrac{2}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}$.
Les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont-elles parallèles?

$\quad$

Correction Exercice 4

D’une part
$\begin{align*}\vect{AM}&=\vect{AB}+\vect{BM}\\
&=\vect{AB}+2\vect{CA}\\
&=\vect{AB}-2\vect{AC}\end{align*}$

D’autre part
$\begin{align*}\vect{BN}&=\vect{BA}+\vect{AN}\\
&=-\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AM}\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{BN}$ et $\vect{AM}$ sont donc colinéaires et les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont parallèles.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Factoriser $A(x)=(5x-1)^2-(8x-7)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}
A(x)&=(5x-1)^2-(8x-7)^2 \\
&=\left[(5x-1)-(8x-7)\right]\left[(5x-1)+(8x-7)\right] \\
&=(5x-1-8x+7)(5x-1+8x-7)\\
&=(-3x+6)(13x-8)
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$