Calculs semaine 22

Fonctions, vecteurs et problème

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+20}}{7x+4}$.
Déterminer son ensemble de définition.

$\quad$

Correction Exercice 1

Pour que la racine carrée soit définie il faut que $3x+20 >0 \ssi 3x>-20 \ssi x>-\dfrac{20}{3}$.
Pour que la fraction soit définie sil faut que $7x+4 \neq 0$ c’est-à-dire que $x\neq -\dfrac{4}{7}$.
Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\left[-\dfrac{20}{3};-\dfrac{4}{7}\right[\cup\left]-\dfrac{4}{7};+\infty\right[$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans le plan muni d’un repère \Oij on considère les points $A(-14;10)$, $B\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ et $C(2;-1)$.
Sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vect{AB}\left(\dfrac{29}{2};-10\right)$ et $\vect{AC}(16;-11)$
det$\left(\vect{AB};\vect{AC}\right)=\dfrac{29}{2}\times (-11)-(-10)\times 16=-\dfrac{319}{2}+160=\dfrac{1}{2} \neq 0$
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Les légionnaires romains, sur le champ de bataille, se disposaient en carré pour une plus grande efficacité.
La compagnie de Brutus est telle que si elle avait comportée $400$ hommes de plus, le carré ainsi formé aurait dix rangées de plus. De combien d’hommes la compagnie de Brutus est-elle constituée ?

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $x$ le nombre de légionnaires placés sur chaque ligne du carré initial. Il y a donc $x^2$ légionnaires.
En ajoutant $400$ hommes, on a placé $x+10$ légionnaires sur chaque ligne du carré.
Ainsi $(x+10)^2=x^2+400 \ssi x^2+20x+100=x^2+400 \ssi 20x=300 \ssi x=15$.
La compagnie de Brutus est donc constituée de $15^2=225$ légionnaires.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ et les points $M$ et $N$ définis par $\vect{AM}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$ et $\vect{CN}=\dfrac{1}{5}\vect{CA}$.
Exprimer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}\vect{MN}&=\vect{MA}+\vect{AC}+\vect{CN}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\vect{AC}+\dfrac{1}{5}\vect{CA}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{4}{5}\vect{AC}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que pour tout point $M$ du plan on a $2\vect{MA}-3\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour tout point $M$ on a $2\vect{MA}-3\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.
En particulier si $M=A$ on a $-3\vect{AB}+\vect{AC}=\vec{0} \ssi \vect{AC}=3\vect{AB}$.
Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{AB}$ sont donc colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont par conséquent alignés.

$\quad$

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$\quad$