Calculs semaine 29

Probabilités

Exercice 1

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A)=0,3$ , $p(B)=0,4$ et $p(A\cap B)=0,1$.
Quelle est la probabilité de l’événement $A\cup B$?

$\quad$

Correction Exercice 1

On a :
$\begin{align*}
p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\
&=0,3+0,4-0,1\\
&=0,6
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(B)=0,6$ , $p(A\cap B)=0,5$ et $p(A\cup B)=0,9$.
Quelle est la probabilité de l’événement $\conj{A}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a
$\begin{align*}p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)&\ssi p(A)=p(A\cup B)+p(A\cap B)-p(B)\\
&=0,9+0,5-0,6 \\
&=0,8
\end{align*}$
Donc
$\begin{align*}
p\left(\conj{A}\right)&=1-p(A)\\
&=0,2
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère un cadenas dont la clé est un code à $3$ chiffres. On tente une combinaison au hasard.
Quelle est la probabilité de trouver le bon code?

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour chaque chiffre il y a $10$ possibilités. On a donc $10^3=1~000$ combinaisons possibles.
La probabilité de trouver le bon code est donc $\dfrac{1}{1~000}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On choisit au hasard un élève d’un lycée. On note $A$ l’événement : « l’élève choisi est en Seconde » et $B$ l’événement : « l’élève choisi est un garçon ».
Décrire par une phrase les événements $A\cup B$ et $A\cap B$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$A\cup B$ : « l’élève choisi est en seconde ou est un garçon »
$A\cap B$ : « l’élève choisi est en seconde et est un garçon »

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On lance un dé cubique truqué tel que la face numérotée $1$ a pour probabilité $0,5$ et les faces numérotées de $2$ à $6$ ont la même probabilité.
Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de $3$?

$\quad$

Correction Exercice 5

Les cinq faces numérotées de $2$ à $6$ ont la même probabilité $p$.
Par conséquent $5p+0,5=1 \ssi p=0,1$.
Deux faces portent des numéros qui sont des multiples de $3$ qui ont toutes les deux la même probabilité d’apparition égale à $0,1$.
Par conséquent, la probabilité d’obtenir un multiple de $3$ est $2\times 0,1=0,2$.

$\quad$

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$\quad$