2nd – Calculs semaine 31 – Équations de droites

Calculs semaine 31

Équations de droites

Exercice 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $4x-2y+5=0$. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d’$ parallèle à $d$ passant par le point $A(1;-3)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles. Une équation de la droite $d’$ est donc de la forme $4x-2y+c=0$.
$A(1;-3)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $4\times 1-2\times (-3)+c=0 \ssi 10+c=0 \ssi c=-10$.

Une équation cartésienne de la droite $d’$ est donc $4x-2y-10=0$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la droite $d$ d’équation $2x+y-3=0$ et la droite $d’$ d’équation $5x-2y+1=0$.

  1. Justifier, sans calculer les coordonnées du point d’intersection, que les droites $d$ et $d’$ sont sécantes.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $2\times (-2)-1\times 5=-9\neq 0$ : les droites $d$ et $d’$ ne sont donc pas parallèles. Elles sont par conséquent sécantes.
    $\quad$
  2. Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x+y-3=0\\5x-2y+1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\5x-2(3-2x)+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\9x-6+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\x=\dfrac{5}{9} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{5}{9}\\[3mm]y=\dfrac{17}{9}\end{cases}\end{align*}$
    Le point d’intersection des deux droites $d$ et $d’$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{17}{9}\right)$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère la droite $d$ d’équation $4x-7y+2=0$ et la droite $d’$ d’équation $mx+3y-1=0$ où $m$ est un réel.
Déterminer la valeur de $m$ tel que les droites $d$ et $d’$ soient parallèles.

$\quad$

Correction Exercice 3

$d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si :
$4\times 3-(-7)m=0 \ssi 12+7m=0 \ssi m=-\dfrac{12}{7}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer le coefficient directeur de la droite $d$ dont une équation cartésienne est $7x+3y+2=0$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$7x+3y+2=0 \ssi 3y=-7x-2\ssi y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$
Le coefficient directeur de la droite $d$ est donc $-\dfrac{7}{3}$.

$\quad$

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$\quad$