Calculs semaine 32

Fonctions, inéquation, vecteurs, pourcentage, calcul littéral

Exercice 1

On considère une fonction affine $f$ telle que $f(-2)=5$ et $f(4)=1$.
Déterminer l’expression algébrique de $f$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$f$ est une fonction affine. Une expression algébrique de la fonction $f$ est donc de la forme $f(x)=ax+b$ pour tout réel $x$.
$\begin{align*} a&=\dfrac{f(-2)-f(4)}{-2-4} \\
&=\dfrac{5-1}{-6} \\
&=-\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Une expression algébrique de $f$ est donc $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+b$ pour tout réel $x$.
Or $f(-2)=5 \ssi 5=\dfrac{4}{3}+b \ssi b=\dfrac{11}{3}$
Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{11}{3}$.

Vérification : $f(x)=-\dfrac{8}{3}++\dfrac{11}{3}=1 \checkmark$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=7x-4$.
Résoudre $f(x)<0$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} f(x)<0&\ssi 7x-4<0 \\
&\ssi 7x<4 \\
&\ssi x<\dfrac{4}{7}\end{align*}$

L’ensemble solution de $f(x)<0$ est $\left]-\infty;\dfrac{4}{7}\right[$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(7,8)$.
Sont-ils colinéaires?

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} \det\left(\vec{u},\vec{v}\right)&=2\times 8-3\times 7 \\
&=16-21 \\
&=-5\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Après une augmentation de $12\%$ le prix d’un article est de $154$ €. Quel était le prix initial de cet article?

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $P$ le prix initial.
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{12}{100}\right)P=154 &\ssi 1,12P=154 \\
&\ssi P=137,5\end{align*}$.

L’article coûtait donc initialement $137,5$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Factoriser $A(x)=(5x-1)^2-(8x-7)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A(x)&=(5x-1)^2-(8x-7)^2 \\
&=\left((5x-1)-(8x-7)\right)\left((5x-1)+(8x-7)\right) \\
&=(5x-1-8x+7)(5x-1+8x-7) \\
&=(-3x+6)(13x-8) \\
&=3(-x+2)(13x-8)\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$