Calculs semaine 5

Calcul numérique, inéquation et Python

Exercice 1

Donner l’écriture scientifique de $A=75~000\times 3~000\times 0,000~2$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=75~000\times 3~000\times 0,000~2 \\
&=7,5\times 10^4\times 3\times 10^3\times 2\times 10^{-4} \\
&=45\times 10^3\\
&=4,5\times 10\times 10^3\\
&=4,5\times 10^4\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre dans $\R$ l’inéquation $|5x-7|\pp \dfrac{1}{2}$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} |5x-7|\pp \dfrac{1}{2} &\ssi -\dfrac{1}{2} \pp 5x-7\pp \dfrac{1}{2} \\
&\ssi -\dfrac{1}{2}+7\pp 5x \pp \dfrac{1}{2}+7 \\
&\ssi \dfrac{13}{2} \pp 5x\pp \dfrac{15}{2} \\
&\ssi \dfrac{13}{10} \pp x \pp \dfrac{3}{2}\end{align*}$

L’ensemble solution est l’ensemble des nombres appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{13}{10};\dfrac{3}{2}\right]$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Écrire le nombre suivant sous la forme d’une fraction irréductible en détaillant les étapes.
$$B=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}}{4-\dfrac{8}{5}}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} B&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}}{4-\dfrac{8}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{15}}{\dfrac{20}{5}-\dfrac{8}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{5}{15}-\dfrac{8}{15}}{\dfrac{12}{5}} \\
&=\dfrac{~~-\dfrac{3}{15}~~}{\dfrac{12}{5}} \\
&=-\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{12}{5}} \\
&=-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{5}{12} \\
&=-\dfrac{1}{12}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire le nombre suivant sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible.
$$C=5\sqrt{48}-7\sqrt{27}+2\sqrt{75}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} C&=5\sqrt{48}-7\sqrt{27}+2\sqrt{75} \\
&=5\sqrt{16\times 3}-7\sqrt{9\times 3}+2\sqrt{25\times 3} \\
&=5 \sqrt{16}\times \sqrt{3}-7\sqrt{9}\times \sqrt{3}+2\sqrt{25}\times \sqrt{3} \\
&=5\times 4\sqrt{3}-7\times 3\sqrt{3}+2\times 5\times \sqrt{3} \\
&=20\sqrt{3}-21\sqrt{3}+10\sqrt{3} \\
&=9\sqrt{3}
\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 5

Dans ce programme Python, quelle valeur est contenue dans la variable $X$ à la fin :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{X = 5}\\
\text{X = X + X}\\
\text{X = X – 20}\\
\text{X = abs(X)}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

Voici les différentes valeurs prises par la variable $X$ :
$$5\underset{X+X}{\longrightarrow}10\underset{X-20}{\longrightarrow}-10\underset{|X|}{\longrightarrow} 10$$
La variable $X$ contient donc le nombre $10$ à la fin de l’algorithme.

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$\quad$