2nd – Calculs semaine 8 – Calcul littéral, équation et fonction affine

Calculs semaine 8

Calcul littéral, équation et fonction affine

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x+7)\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}\right)=0$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$(2x+7)\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$$\begin{array}{lcl}
2x+7=0&\text{ ou }&\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}=0\\
\ssi 2x=-7&&\ssi\dfrac{1}{3}x=\dfrac{4}{7}\\\\
\ssi x=-\dfrac{7}{2}&&\ssi x=\dfrac{12}{7}
\end{array}$$
Les solutions de l’équation sont $\dfrac{12}{7}$ et $-\dfrac{7}{2}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Développer et réduire l’expression $A(x)=(3x+4)(4x-1)-(5-3x)(2x-3)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} A(x)&=(3x+4)(4x-1)-(5-3x)(2x-3)\\
&=12x^2-3x+16x-4-\left(10x-15-6x^2+9x\right) \\
&=12x^2+13x-4-\left(-6x^2+19x-15\right)\\
&=12x^2+13x-4+6x^2-19x+15\\
&=18x^2-6x+11
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Factoriser l’expression $B(x)=(4x-5)(2x-6)+4x-5$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} B(x)&=(4x-5)(2x-6)+(4x-5)\times 1\\
&=(4x-5)\left[(2x-6)+1\right] \\
&=(4x-5)(2x-5)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ l’équation $\dfrac{2}{7}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \dfrac{2}{7}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}&\ssi \dfrac{2}{7}x-\dfrac{2}{3}x=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4} \\
&\ssi \dfrac{6}{21}x-\dfrac{14}{21}x=-\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12} \\
&\ssi -\dfrac{8}{21}x=-\dfrac{7}{12} \\
&\ssi x=\dfrac{~~-\dfrac{7}{12}~~}{-\dfrac{8}{21}} \\
&\ssi x=\dfrac{7}{12}\times \dfrac{21}{8} \\
&\ssi x=\dfrac{7\times 3\times 7}{3\times 4\times 8}\\
&\ssi x=\dfrac{49}{32}
\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{49}{32}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 5

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine $f$ vérifiant $f(2)=5$ et $f(-4)=1$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$f$ est une fonction affine. Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=ax+b$.

On a donc
$$\begin{align*}a&=\dfrac{f(-4)-f(2)}{-4-2} \\
&=\dfrac{1-5}{-6}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$

Ainsi $f(x)=\dfrac{2}{3}x+b$

On sait que $f(2)=5$ donc
$$\begin{align*} \dfrac{2}{3}\times 2+b=5 &\ssi \dfrac{4}{3}+ b=5\\
&\ssi b=5-\dfrac{4}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{15}{3}-\dfrac{4}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{11}{3}\end{align*}$$

Par conséquent $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{11}{3}$ pour tout réel $x$.

$\quad$

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$\quad$