2nd – Calculs semaine 9 – Calcul littéral, équation et fonction affine

Calculs semaine 9

Calcul littéral, équation et fonction affine

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ l’équation $(3x-5)(2-7x)=0$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$(3x-5)(2-7x)=0$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$$\begin{array}{lcl}
3x-5=0& \quad \text{ou} \quad& 2-7x=0\\
\ssi 3x=5 && \ssi -7x=-2\\
\ssi x=\dfrac{5}{3}&& \ssi x=\dfrac{2}{7}
\end{array}$$

Les solutions de l’équation sont $\dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{2}{7}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Développer et réduire l’expression $A=(8x-4)(3x-5)-(4x-9)(7x-2)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$$\begin{align*}A&=(8x-4)(3x-5)-(4x-9)(7x-2) \\
&=24x^2-40x-12x+20-\left(28x^2-8x-63x+18\right) \\
&=24x^2-52x+20-\left(28x^2-71x+18\right)\\
&=24x^2-52x+20-28x^2+71x-18\\
&=-4x^2+19x+2
\end{align*}$$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Factoriser et réduire l’expression $B=(3x-4)^2-(3x-4)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$$\begin{align*}B&=(3x-4)^2-(3x-4) \\
&=(3x-4)(3x-4)-(3x-4)\times 1 \\
&=(3x-4)\left[(3x-4)-1\right] \\
&=(3x-4)(3x-5)\end{align*}$$

$\quad$

 

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=8x-3$.

  1. Calculer $f(-2)$.
    $\quad$
  2. Déterminer, s’il en existe, le(s) antécédent(s) de $-7$ par la fonction $f$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=8x-3$.

  1. $f(-2)=8\times (-2)-3=-16-3=-19$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $f(x)=-7$
    $\ssi 8x-3=-7$
    $\ssi 8x=-4$
    $\ssi x=-\dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $-7$ est $-\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine $f$ vérifiant $f(6)=0$ et $f(-3)=-3$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$f$ est une fonction affine. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=ax+b$.
$a=\dfrac{f(6)-f(-3)}{6-(-3)}=\dfrac{0-(-3)}{6+3}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$
Ainsi $f(x)=\dfrac{1}{3}x+b$.
Or $f(6)=0 \ssi \dfrac{1}{3}\times 6+b=0 \ssi 2+b=0 \ssi b=-2$
Par conséquent $f(x)=\dfrac{1}{3}x-2$

Vérification : $f(-3)=\dfrac{1}{3}\times (-3)-2=-1-2=-3 \checkmark$

$\quad$

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$\quad$