Coordonnées dans le plan

Exercices corrigés – 2nd

Calcul de distances

Exercice 1

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(3;7)$, $B(-3;1)$ et $C(1;-3)$.

Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. Est-il isocèle? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 1

$AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (-3 – 3)^2 + (1 – 7)^2 = (-6)^2+(-6)^2=72$. $AC^2 = (1-3)^2+(-3-7)^2 = (-2)^2+(-10)^2 = 104$
$BC^2=(1+3)^2+(-3-1)^2=4^2+(-4)^2=32$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté.
D’une part $AC^2 = 104$.
D’autre part $AB^2+BC^2 = 72+32 = 104$
Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$\quad$
Mais $BC \neq AB$. Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Le repère est orthonormé. Déterminer dans chacun des cas les distances $AB$, $AC$ et $BC$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle?

$A(3;0)$, $B(-1;0)$, $C(-1;3)$
$\quad$
$A(-2;3)$, $B(3;2)$, $C(0;0)$
$\quad$
$A(0;5)$, $B(3;6)$, $C(5;-2)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (-1-3)^2+(0-0)^2 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$
$\quad$
$AC^2 = (-1-3)^2+(3-0)^2 = (-4)^2+3^2 = 25$
$AC=\sqrt{25} = 5$
$\quad$
$BC^2 = (-1+1)^2+(3-0)^2 = 0^2 + 3^2 = 9$
$BC=\sqrt{9} = 3$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2 = 25$
D’autre part $AB^2+BC^2 = 9 + 16 = 25$
$\quad$
Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$\quad$
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (3+2)^2+(2-3)^2 = 5^2 + (-1)^2 $ $= 25 + 1 = 26$
$AB = \sqrt{26}$
$\quad$
$AC^2=(0+2)^2+(0-3)^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$
$AC = \sqrt{13}$
$\quad$
$BC^2=(0-3)^2+(0-2)^2 = (-3)^2+(-2)^2=9+4=13$
$BC = \sqrt{13}$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
D’une part $AB^2 = 26$
D’autre part $AC^2+BC^2 = 13 + 13$.
$\quad$
Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
De plus $AC=BC$.
Le triangle est donc rectangle isocèle en $C$.
$\quad$
$AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (3+2)^2+(2-3)^2 =(3-0)^2+(6-5)^2$ $=3^2+1^2=10$
$AB = \sqrt{10}$
$\quad$
$AC^2=(5-0)^2+(-2-5)^2 = 5^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74$
$AC=\sqrt{74}$
$\quad$
$BC^2 = (5-3)^2+(-2-6)^2 = 2^2+(-8)^2 = 4 + 64 = 68$.
$BC=\sqrt{68}$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2=74$
D’autre part $AB^2+BC^2 = 10+68 = 78$
Par conséquent $AC^2 \neq AB^2+BC^2$.
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.
$\quad$

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$\quad$

Coordonnées du milieu

Exercice 3

On considère les points $A(3;4)$ et $B(2;2)$ du plan muni d’un repère.

Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$I$ est le milieu de $[AB]$ donc :

$\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$

d’où $\begin{cases} x_I=\dfrac{3+2}{2} = \dfrac{5}{2} \\\\y_I=\dfrac{4+2}{2} = 3 \end{cases}$

Par conséquent $I\left(\dfrac{5}{2};3 \right)$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère un repère du plan. Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.

$A(1;-5)$ et $B(3;-9)$
$\quad$
$A(-2;1)$ et $B(2;0)$
$\quad$
$A\left(-3;\sqrt{2}\right)$ et $B\left(2;-\sqrt{2}\right)$
$\quad$
$A(1;-3)$ et $B(-1;3)$

$\quad$

Correction Exercice 4

$x_I = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ et $y_I=\dfrac{-5-9}{2} = -7$
Donc $I(2;-7)$
$\quad$
$x_I=\dfrac{-2 + 2}{2} = 0$ et $y_I = \dfrac{1 + 0}{2} = \dfrac{1}{2}$
Donc $I\left(0;\dfrac{1}{2} \right)$
$\quad$
$x_I=\dfrac{-3+2}{2} = -\dfrac{1}{2}$ et $y_I=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2} = 0$.
Donc $I\left(-\dfrac{1}{2};0 \right)$.
$\quad$
$x_I=\frac{1-1}{2} = 0$ et $y_I=\dfrac{-3+3}{2} = 0$.
Donc $I(0;0)$ est l’origine du repère.
$\quad$

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$\quad$

Problèmes généraux

Exercice 5

Dans un repère du plan, on considère les points $E(3;4)$, $F(6;6)$ et $G(4;-1)$.

Calculer les coordonnées du point $H$ tels que $EFGH$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $K$ le milieu de $[EG]$.

$\begin{cases} x_K=\dfrac{x_E+x_G}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_E+y_G}{2} \end{cases}$ Soit $\begin{cases} x_K = \dfrac{3+4}{2} \\\\y_K=\dfrac{4+(-1)}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} x_K = \dfrac{7}{2}\\\\y_K=\dfrac{3}{2} \end{cases}$

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. $K$ est donc également le milieu de $[FH]$.
$\begin{cases} x_K=\dfrac{x_F+x_H}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_F+y_H}{2} \end{cases}$ Soit $\begin{cases} \dfrac{7}{2} = \dfrac{6+x_H}{2} \\\\\dfrac{3}{2}=\dfrac{6+y_H}{2} \end{cases}$
On multiplie chacune des équations par $2$ (les deux côtés!) afin de ne plus avoir de dénominateur:
$\begin{cases} 7 = 6+x_H\\\\3=6+y_H \end{cases}$ Finalement $\begin{cases}x_H=1 \\\\y_H=-3 \end{cases}$
$\quad$
Donc $H(1;-3)$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ du plan, on considère les points $A(-2;-3)$ et $B(4;1)$.

Les points $M(3;2)$ et $N\left(-2;\dfrac{5}{2} \right)$ sont-ils sur le cercle de diamètre $[AB]$? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 6

Un point est sur un cercle donné si la distance le séparant du centre du cercle est égale au rayon du cercle.

Déterminons dans un premier temps les coordonnées du centre $I$ du cercle. Il s’agit du milieu de $[AB]$.

$\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{-2+4}{2} = 1\\\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{-3+1}{2}=-1 \end{cases}$

$I$ a donc pour coordonnées $(1;-1)$

$\quad$

Le rayon du cercle est $OA$.
$OA^2 = (x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2$ $=(-2 – 1)^2 + (-3 +1)^2 = (-3)^2+(-2)^2 $ $=9+4 = 13$.

Donc $OA = \sqrt{13}$.

Calculons maintenant $OM$
$OM^2 = (3 -1)^2+(2+1)^2 = 2^2+3^2 = 4 + 9 = 13$

Donc $OM= \sqrt{13} = OA$. Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$

$\quad$

Calculons enfin $ON$
$ON^2 = (-2-1)^2+\left(\dfrac{5}{2}+1 \right)^2$ $ = (-3)^2 + \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 = \dfrac{85}{4}$

Donc $ON = \sqrt{\dfrac{85}{4}} \neq OA$. Le point $N$ n’appartient pas au cercle de diamètre $[AB]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(4;1)$, $B(0;4)$ et $C(-6;-4)$.

Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
$\quad$
En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle.
$\quad$
Trouver ensuite les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon?

$\quad$

Correction Exercice 7

$AB^2 = (0 – 4)^2+(4-1)^2= (-4)^2+3^2=25$.
Donc $AB = 5$
$AC^2 = (-6 – 4)^2+(-4-1)^2 = (-10)^2 + (-5)^2 = 125$.
Donc $AC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
$BC^2=(-6-0)^2+(-4-4)^2 = (-6)^2+(-8)^2 = 100$.
Donc $BC=10$.
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté.
D’une part $AC^2 = 125$
D’autre part $AB^2+BC^2 = 25+100 = 125$
Donc $AC^2=AB^2+BC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$\quad$
Le centre $I$ du cercle circonscrit est donc le milieu de l’hypoténuse $[AC]$.
On a ainsi $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{4-6}{2} = -1 \\\\y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{1-4}{2} = -\dfrac{3}{2} \end{cases}$
Par conséquent $I\left(-1;-\dfrac{3}{2} \right)$
$\quad$
Le rayon du cercle est donc $\dfrac{AC}{2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-5;-3)$, $B(8;3)$, $M(1;1)$ et $N\left( -3;\dfrac{39}{4}\right)$.

Les points $M$ et $N$ sont-ils sur la médiatrice du segment $[AB]$? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 8

Un point est sur la médiatrice d’un segment s’il est équidistant des extrémités.

Calculons et comparons $AM$ et $BM$

$AM^2=(1+5)^2+(1+3)^2 = 6^2+4^2=52$ donc $AM = \sqrt{52}$
$BM^2=(1-8)^2+(1-3)^2=(-7)^2+(-2)^2=53$ donc $BM=\sqrt{53}$

Par conséquent $AM \neq BM$. Le point $M$ n’appartient pas à la médiatrice de $[AB]$.

$\quad$

Calculons et comparons $AN$ et $BN$

$AN^2=(-3+5)^2+\left(\dfrac{39}{4} + 3\right)^2 $ $= 2^2+\left(\dfrac{51}{4}\right)^2=\dfrac{2665}{16}$. Donc $AN = \dfrac{\sqrt{2665}}{4}$
$BN^2=(-3-8)^2+\left(\dfrac{39}{4} – 3\right)^2 $ $= (-11)^2+\left(\dfrac{27}{4}\right)^2=\dfrac{2665}{16}$. Donc $BN= \dfrac{\sqrt{2665}}{4}$

Par conséquent $AN=BN$. Lepoint $N$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(-3;0)$, $B(2;1)$, $C(4;3)$ et $D(-1;2)$.

Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
$\quad$
Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$.
$\quad$
Montrer que le triangle $OBD$ est rectangle est isocèle.
$\quad$
On considère le point $E$ du plan tel que $BODE$ soit un parallélogramme.
Quelles sont les coordonnées de $E$.
$\quad$
Calculer $AE$.

$\quad$

Correction Exercice 9

$\quad$
Soit $K$ le milieu de $[AC]$.
On a ainsi $\begin{cases} x_K=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2} \\\\y_K=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
$\quad$
Soit $K’$ le milieu de $[BD]$.
On a ainsi $\begin{cases} x_{K’}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2} \\\\y_{K’}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
$\quad$
Par conséquent $K$ et $K’$ sont ayant les mêmes coordonnées sont confondus et les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
$\quad$
Calculons les longueurs $OB$, $OD$ et $BD$.
$OB^2=(2-0)^+(1-0)^= 5$ donc $OB=\sqrt{5}$
$OD^2=(-1-0)^2+(2-0)^2 = 5$ donc $OD=\sqrt{5}$. Le triangle $OBD$ est donc isocèle en $O$.
$BD^2=(-1-2)^2+(2-1)^2 = (-3)^2+1^2 = 10$ donc $BD=\sqrt{10}$.
$\quad$
Dans le triangle $OBD$, le plus grand côté est $[BD]$.
D’une part $BD^2 = 10$
D’autre part $OB^2+OD^2 = 5 + 5 = 10$
Par conséquent $BD^2=OB^2+OD^2$ et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OBD$ est également rectangle en $O$.
$\quad$
$BODE$ est un parallélogramme, par conséquent ses diagonales $[BD]$ et $[OE]$ se coupent en leur milieu $K$.
On obtient ainsi :
$\begin{cases} x_K=\dfrac{x_O+x_E}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_O+y_E}{2} \end{cases}$ soit $\begin{cases} \dfrac{1}{2} = \dfrac{0+x_E}{2} \\\\ \dfrac{3}{2} = \dfrac{0+y_E}{2} \end{cases}$
$\quad$
Finalement $E(1;3)$.
$\quad$
$AE^2=(1+3)^2+(3-0)^2 = 4^2+3^2 = 25$ donc $AE = 5$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 10

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ du plan on considère les points $A(-2;-4)$, $B(-4;0)$ et $C(2;3)$.

Quelle est la nature du triangle $ABC$?
$\quad$
Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle.
$\quad$
Le point $D(0;2)$ appartient-il au cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{20}$?
$\quad$

Correction Exercice 10

$AB^2=(-4-(-2))^2+(0-(-4))^2=(-2)^2+4^2=4+16=20$
$AC^2=(2-(-2))^2+(3-(-4))^2=4^2+7^2=16+49=65$
$BC^2=(2-(-4))^2+(3-0)^2=6^2+3^2=36+9=45$
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2=65$.
D’autre part $AB^2+BC^2=20+45=65$.
Ainsi $AC^2=AB^2+BC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$\quad$
Le centre $M$ du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse.
Ainsi ici $M$ est le milieu de $[AC]$.
Par conséquent $\begin{cases}x_M=\dfrac{-2+2}{2}=0\\\\y_M=\dfrac{-4+3}{2}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$.
D’où $M\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
$BD=\sqrt{\left(0-(-4)\right)^2+(2-0)^2} = \sqrt{16+4}=\sqrt{20}$.
Par conséquent le point $D$ appartient au cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{20}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 11

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(1;-1)$, $B(-2;0)$ et $C(-1;3)$.

Quelle est la nature du triangle $ABC$? Justifier.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $D$ symétrique du point $B$ par rapport au point $A$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $ECAB$ soit un parallélogramme.
$\quad$

Correction Exercice 11

On calcule les longueurs des trois côtés du triangle.
$AB=\sqrt{(-2-1)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}$
$BC=\sqrt{(-1+2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$
$AC=\sqrt{(-1-1)^2+(3+1)^2}=\sqrt{20}$
On constate que $AB=BC$. Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $B$.
On constate également que $AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est également rectangle en $B$.
$\quad$
Le point $A$ est donc le milieu du segment $[BD]$
Ainsi $x_A=\dfrac{x_B+x_D}{2} \ssi 1=\dfrac{-2+x_D}{2}\ssi 2=xD-2 \ssi x_D=4$
et $y_A=\dfrac{y_B+y_D}{2} \ssi -1=\dfrac{0+y_D}{2}\ssi -2=yD$
Par conséquent $D(4;-2)$.
$\quad$
On appelle $M$ le milieu du segment $[BC]$
Ainsi $x_M=\dfrac{-2-1}{2}=-\dfrac{3}{2}$ et $y_M=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$.
$ECAB$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu. $M$ est donc également le milieu du segment $[EA]$.
Par conséquent :
$-\dfrac{3}{2}=\dfrac{x_E+1}{2} \ssi -3=x_E+1\ssi x_E=-4$
$\dfrac{3}{2}=\dfrac{y_E-1}{2} \ssi 3=y_E-1 \ssi y_E=4$.
Ainsi $E(-4;4)$.
$\quad$

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$\quad$