Arithmétique

I Multiples et diviseurs d’un nombre entier

Définition 1 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
On dit que $b$ est un diviseur de $a$ s’il existe un entier relatif $k$ tel que $a=b\times k$.
On dit alors que $a$ est divisible par $b$ ou que $a$ est un multiple de $b$.

Exemples :

$10=2\times 5$ donc :
– $10$ est divisible par $2$;
– $10$ est un multiple de $2$;
– $2$ est un diviseur de $10$.
Les diviseurs de $6$ sont $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$ et $6$
$13$ n’est pas un multiple de $5$ car il n’existe pas d’entier relatif $k$ tel que $13=5k$.
En effet, si un tel nombre existait alors $k=\dfrac{13}{5}=2,6$. Or $2,6$ n’appartient pas à $\Z$.

Propriété 1 : On considère un entier relatif $a$.
La somme de deux multiples de $a$ est également un multiple de $a$.

Preuve Propriété 1

On considère deux entiers relatifs $b$ et $c$ multiples de $a$.

Il existe donc deux entiers relatifs $p$ et $q$ tels que $b=a\times p$ et $c=a\times q$.
Ainsi :
$\begin{align*}
b+c&=a\times p+a\times q \\
&=a\times (p+q)
\end{align*}$

$p+q$ est un entier relatif donc $b+c$ est un multiple de $a$.

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$\quad$

Exemple : $14$ et $28$ sont deux multiples de $7$. En effet $14=7\times 2$ et $28 = 7\times 4$.
$14+28=42$ est également un multiple de $7$ puisque $42=7\times 6$.

$\quad$

II Nombres pairs et nombres impairs

Définition 2 : On considère un entier relatif $n$.

On dit que $n$ est pair s’il est divisible par $2$.
On dit que $n$ est impair s’il n’est pas divisible par $2$.

Exemples :

$0;2;4;6;8;\ldots$ sont des nombres pairs.
$1;3;5;7;9;\ldots$ sont des nombres impairs

Propriété 2 : On considère un entier relatif $n$

$n$ est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
$n$ est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.

Propriété 3 : Si $n$ est un entier relatif impair alors $n^2$ est également impair.

Preuve Propriété 3

$n$ est un entier relatif impair. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.

Ainsi :
$\begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2\\
&=4k^2+2k+1\\
&=2\left(2k^2+k\right)+1
\end{align*}$
Par conséquent $n^2$ est impair.

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$\quad$

III Nombres premiers

Définition 3 : Un entier naturel est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts ($1$ et lui-même).

Exemples :

$1$ n’est pas premier car il n’est divisible que par lui-même.
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ sont des nombres premiers.
$6$ n’est pas premiers car il est divisible par $1$, $2$, $3$ et $6$

Propriété 4 : Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ peut s’écrire de façon unique sous la forme d’un produit de nombres premiers.

Remarque : Si $n$ est un nombre premier alors cette décomposition est réduite à lui-même.

Exemple : $150=15\times 10 =3\times 5\times 2\times 5 =2\times 3\times 5^2$

Propriété 5 : On considère un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$ qui n’est pas un nombre premier.
Son plus petit diviseur différent de $1$ est un nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

Exemple : On souhaite déterminer le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$.
On a $\sqrt{371}\approx 19,3$.
Or les nombres premiers inférieurs ou égaux à $19$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
On constate que $371$ n’est pas divisible par $2$, $3$ et $5$ mais que $\dfrac{371}{7}=53$.
Ainsi le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$ est $7$.

$\quad$

IV Critères de divisibilité

Cette partie n’est absolument pas au programme de seconde mais il est parfois utile de connaître ces critères.

Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
Exemple : $14$, $2~476$ et $10~548$ sont divisibles par $2$
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
Exemple : $234$ est divisible par $3$ car $2+3+5=9$ est divisible par $3$.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $4$ si le nombre constitué de son chiffre des dizaines et de celui de son chiffre des unités est divisible par $4$ ou s’il se termine par $00$.
Exemple : $2~132$ est divisible par $4$ car $32$ est divisible par $4$.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Exemple : $105$ est divisible par $5$.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $6$ s’il est pair et divisible par $3$.
Exemple : $14~676$ est divisible par $6$ car il est pair et $1+4+6+7+6=24$ est divisible par $3$.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $7$ si la valeur absolue de la différence entre son nombre de dizaine et le double de son chiffre des unités est divisible par $7$.
Exemple : $8~645$ est divisible par $7$ car :
$|864-2\times 5|=854$ \quad $|85-2\times 4|=77$ qui est clairement divisible par $7$ mais on pourrait continuer la méthode.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $8$ si le nombre constitué de ses $3$ derniers chiffres (unité, dizaine et centaine) est divisible par $8$.
Exemple : $5~104$ est divisible par $8$ car $104=8\times 13$ est divisible par $8$.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
Exemple : $4~572$ est divisible par $9$ car $4+5+7+2=18$ qui est divisible par $9$.
$\quad$
Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités $0$.
Exemple : $13~450$ est divisible par $10$.
$\quad$
Un nombre entier est divisible par $11$ si la différence de la somme de ses chiffres de rang impair et de la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de $11$.
Exemple : $381~502$ est divisible par $11$ car $3+1+0-(8+5+2)=-11$ est un multiple de $11$.
$\quad$