Calcul numérique et bases de calcul littéral

I Calcul fractionnaire

Définition 1
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ avec $b$ non nul. L’écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$.
Une fraction est une écriture fractionnaire dans laquelle $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
$a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont des écritures fractionnaires tandis que $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{5}$ sont des fractions.

Propriété 1 (Somme)
Pour additionner ou soustraire deux écritures fractionnaires, celles-ci doivent avoir le même dénominateur.
On considère deux réels $a$ et $b$ et un réel non nul $c$.
On a alors $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{4+5}{7}=\dfrac{9}{7}$ $\qquad$ $\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}$

Propriété 2(Multiplication par un réel)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ non nul.
On a alors $c\times \dfrac{a}{b} =\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{a\times c}{b}$.

$\quad$

Exemple : $4\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4\times 3}{5}=\dfrac{12}{5}$

Propriété 3(Produit)
On considère quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$

Propriété 4 (Simplification)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ et $c$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a\times c}{b\times c}=\dfrac{a}{b}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{8}{6}=\dfrac{4\times 2}{3\times 2}=\dfrac{4}{3}$ $\qquad$ $4=\dfrac{4\times 5}{5}=\dfrac{20}{5}$

Remarque : C’est cette même propriété qu’on va utiliser pour ajouter ou soustraire deux écritures fractionnaires qui n’ont pas le même dénominateur.

Exemple : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}-\dfrac{5\times 3}{4\times 3}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{8-15}{12}=-\dfrac{7}{12}$

Définition 2
On considère un nombre réel non nul $a$. On appelle inverse du nombre $a$ le nombre $\dfrac{1}{a}$.

$\quad$

Exemples : L’inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ et l’inverse de $0,7$ est $\dfrac{1}{0,7}$.

Attention : Ne pas confondre inverse et opposé.
L’inverse de $2$ est $\dfrac{1}{2}$ alors que l’opposé de $2$ est $-2$.

Propriété 5 (Inverse)
On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$.
L’inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{1}{~~\dfrac{a}{b}~~}=\dfrac{b}{a}$.

$\quad$

Exemple : L’inverse de $\dfrac{3}{11}$ est $\dfrac{11}{3}$.

Propriété 6 (quotient)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{~~\dfrac{a}{b}~~}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$

Exemple : $\dfrac{~~\dfrac{2}{7}~~}{\dfrac{3}{13}}=\dfrac{2}{7}\times \dfrac{13}{3}=\dfrac{26}{21}$

Toutes les règles de calculs vues les années précédentes s’appliquent également sur les écritures fractionnaires en particulier celles portant sur les priorités opératoires.

Exemple :
$\begin{align*} \dfrac{2+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}}&=\dfrac{\dfrac{2\times 7}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1\times 5}{3\times 5}-\dfrac{4\times 3}{5\times 3}}\\
&=\dfrac{\dfrac{14}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{5}{15}-\dfrac{12}{15}}\\
&=\dfrac{~~\dfrac{18}{7}~~}{-\dfrac{7}{15}}\\
&=-\dfrac{18}{7}\times \dfrac{15}{7}\\
&=-\dfrac{270}{49}\end{align*}$

Propriété 7 (Égalité)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ssi a\times d=b\times c$ (égalité des produits en croix)

$\quad$

Remarque : Cette propriété va être utile pour résoudre certaines équations.

Propriété 8
On considère un nombre positif $a$ et un nombre réel strictement positif $b$.
On a alors $-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}$

Remarque : Dans la pratique, on évitera de garder dans les calculs des écritures fractionnaires du type $\dfrac{a}{-b}$.

Exemple : $-\dfrac{3}{5}=\dfrac{-3}{5}=\dfrac{3}{-5}$
$\quad$

$\quad$

II Puissances

Définition 3
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On définit $a^n$, et on lit « $a$ puissance $n$» ou «$a$ exposant $n$», le nombre $\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs }}$.

$\quad$

Exemples : $10^4=10\times 10\times 10\times 10=10~000$ ; $2^3=2\times 2\times 2=8$

Remarque : Pour tout réel $a$ on a donc $a^1=a$ et pour tout entier naturel $n$ non nul on a $0^n=0$.

Convention : Pour tout réel $a$ non nul on note $a^0=1$.

Définition 4
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On a alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$\quad$

Exemples : $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0,01$ ; $3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}$

Remarque : Le signe « $-$» présent dans l’exposant ne présage en rien le signe de $a^{-n}$. Celui-ci va dépendre du signe de $a$ et de la parité de $n$.

Ainsi :

$3^{-5}$ est positif;
$(-2)^{-4}$ est également positif;
$(-5)^{-3}$ est négatif.

Propriété 9
On considère un nombre réel $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$
$\left(a^n\right)^m=\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
$\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$

$\quad$

Exemples :

$5^3\times 5^4=5^{3+4}=5^7$
$2^3\times 2^{-4}=2^{3-4}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$
$\left(3^2\right)^4=3^{2\times 4}=3^8$
$\left(2^5\right)^{-3}=2^{5\times (-3)}=2^{-15}=\dfrac{1}{2^{15}}$
$\dfrac{4^2}{4^5}=4^{2-5}=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}$ $\dfrac{3^{4}}{3^{-5}}=3^{4-(-5)}=3^{4+5}=3^9$
$\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$$\dfrac{1}{3^{-2}}=3^{-(-2)}=3^2$

Propriété 10
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ et un entier relatif $n$.

$a^n\times b^n=(a\times b)^n$
$\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

$\quad$

Exemples :

$2^4\times 5^4=(2\times 5)^4=10^4$
$\dfrac{12^5}{16^5}=\left(\dfrac{12}{16}\right)^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$

$\quad$

Remarque : Il faut connaître par cœur :

Les puissances de $2$ d’exposants $1$ à $10$;
Les carrés des entiers naturels compris entre $1$ et $16$.

$\quad$

Définition 5
On dit qu’on a donné l’écriture scientifique d’un nombre quand on l’a écrit sous la forme $a\times 10^{n}$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\pp |a|<10$ et $n$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemples : $105=1,05\times 10^2$ \qquad $0,000~02=2\times 10^{-5}$ \qquad $-2~365=-2,365\times 10^3$

$\quad$

III Racine carrée d’un nombre positif

1. Définition

Définition 6
On considère un nombre réel positif $a$. Il existe un unique réel positif dont le carré est égal à $a$.
Ce nombre est appelé la racine carrée de $\boldsymbol{a}$ et on le note $\sqrt{a}$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ et $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$.

$\quad$

Remarque : Comme l’indique la définition, un nombre négatif ne possède pas de racine carrée.

Propriété 11
On considère un nombre réel positif $a$. On a alors : $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$

$\quad$

Exemple : $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

Propriété 12
Pour tout nombre réel $a$ on a $\sqrt{a^2}=|a|$

$\quad$

Exemples : $\sqrt{6^2}=6$ et $\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$.

2. Opérations sur les racines carrées

Propriété 13
On considère deux nombres réels positifs $a$ et $b$. On a alors :
$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
Si de plus $b>0$ on a alors :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

$\quad$

Preuve Propriété 13

Montrons que $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ est positif en tant que produit de facteurs positifs.
$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2\times\left(\sqrt{b}\right)^2=a\times b$.
Par définition, il existe une unique nombre positif, $\sqrt{a\times b}$ dont le carré est $a\times b$.
Ainsi $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Il faut bien sûr comprendre que les égalités sont vraies dans les 2 sens.

Exemples :

$\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=\sqrt{9}\times \sqrt{2}=3\sqrt{2}$
$\quad$
$\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$
$\quad$
$\sqrt{\dfrac{7}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}$
$\quad$
$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}=\sqrt{\dfrac{27}{75}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
$\quad$

Attention : Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs on a, en général, $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Exemples :

$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ et $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. On a donc $\sqrt{4+9}\neq \sqrt{4}+\sqrt{9}$.
$\quad$
$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ et $\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$. On a donc $\sqrt{4-1}\neq \sqrt{4}-\sqrt{1}$.
$\quad$

Plus précisément on a :

Propriété 14
On considère deux réels strictement positifs $a$ et $b$. On a alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\quad$

Preuve Propriété 14

D’une part :
$$\begin{align*}\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &= a+b-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\times \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\
&= a+b-\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{a}\times \sqrt{b}+\sqrt{b}\times \sqrt{a}+\sqrt{b}^2\right) \\
&=a+b-\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)\\
&=a+b-a-2\sqrt{ab}-b\\
&=-2\sqrt{ab} \\
&<0\end{align*}$$

D’autre part, en utilisant l’identité remarquable vue en troisième $x^2-y^2=(x-y)\times (x+y)$ avec $x=\sqrt{a+b}$ et $y=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ on obtient :
$$\begin{align*}
\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &=\left(\left(\sqrt{a+b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times \left(\left(\sqrt{a+b}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right) \\
&=\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)
\end{align*}$$

On a donc montré que $\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$.
Mais, en tant que somme de termes positifs, on sait que $\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.
Cela signifie donc que $\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$ soit $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

[collapse]

$\quad$

Propriété 15
On considère un nombre réel positif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $(a;n)\neq (0;0)$. On a alors $$\left(\sqrt{a}\right)^n =\sqrt{a^n}$$

$\quad$

Exemple : $\sqrt{2^3}=\left(\sqrt{2}\right)^3$.

$\quad$

IV Bases de calcul littéral

1. Développer et réduire

Définition 7

Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes « semblables » (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :
$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 8
Factoriser une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

$\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
$\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
$\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-2x+5)$

$\quad$

4. Équations du premier degré

Définition 9
Deux équations sont dites équivalentes si elles sont définies sur le même ensemble et si elles ont le même ensemble de solutions.
Si deux équations $A(x)$ et $B(x)$ sont équivalents on écrit alors $A(x)\ssi B(x)$.

$\quad$

Exemples de résolution d’équations du premier degré :

$2x=7 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ \qquad La solution de l’équation est $\dfrac{7}{2}$.
$\quad$
$-x=3 \ssi x=-3$ \qquad La solution de l’équation est $-3$
$\quad$
$\dfrac{3}{2}x=4 \ssi x=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~} \ssi x=4\times \dfrac{2}{3} \ssi x=\dfrac{8}{3}$
La solution de l’équation est $\dfrac{8}{3}$.
$\quad$
$4x-5=3 \ssi 4x=3+5 \ssi 4x=8 \ssi x=2$ \qquad La solution de l’équation est $2$.
$\quad$
$3x+1=2x \ssi 1=2x-3x \ssi 1=-x \ssi -1=x$ \qquad La solution de l’équation est $-1$.
$\quad$
$8x+3=-2x-1 \ssi 8x+2x+3=-1 \ssi 10x+3=-1 \ssi 10x=-1-3 \ssi 10x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{10} \ssi x=-\dfrac{2}{5}$
La solution de l’équation est $-\dfrac{2}{5}$.

$\quad$

5. Équations produit nul

Définition 10
On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

$(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
$(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
$(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

$\quad$

V Un peu d’histoire

Héron d’Alexandrie, grec du premier siècle, a fourni l’une des plus anciennes méthodes permettant de fournir une approximation des racines carrées. Celle-ci s’appuie sur des considérations géométrique pour fournir une valeur approchée de la racine carrée cherchée.

$\quad$