Configurations du plan

I Parallélogramme

1. Généralités

Définition 1 : Un quadrilatère ayant ses côtés opposés deux à deux parallèles est un parallélogramme.

Propriété 1 :

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure.
Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est son centre de symétrie.

Comment prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?

Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu.
Les côtés opposés du quadrilatère non croisé sont de même longueur.
Deux côtés opposés du quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur.

$\quad$

2. Rectangle

Définition 2 : Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle.

Propriété 2 :

Un rectangle possède toutes les propriétés des parallélogrammes.
Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur.

Comment prouver qu’un quadrilatère est un rectangle?

Le quadrilatère possède trois angles droits.
Le quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit.
Le quadrilatère est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.

$\quad$

3. Losange

Définition 3 : Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange.

Propriété 3 :

Un losange possède toutes les propriétés des parallélogrammes.
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

Comment prouver qu’un quadrilatère est un losange?

Le quadrilatère est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur.
Le quadrilatère est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

$\quad$

4. Carré

Définition 4 : Un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits est un carré.

Propriété 4 : Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Remarques :

Pour prouver qu’un quadrilatère est un carré, on prouve que c’est un rectangle et un losange.
Un carré possède donc, à la fois, les propriétés des rectangles et des losanges.

$\quad$

II Dans un triangle

1. Médiatrices

Définition 5 : La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite constituée des points $M$ équidistants (à la même distance) des extrémités du segment.

Propriété 5 : La médiatrice d’un segment coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

Propriété 6 : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.

$\quad$

2. Hauteurs

Définition 6 : Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Propriété 7 : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé l’orthocentre de ce triangle.

$\quad$

3. Bissectrices

Définition 7 : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Propriété 8 : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point $I$ appelé le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

$\quad$

4. Médianes

Définition 8 : Dans un triangle, une médiane est une droite passant par sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété 9 : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point $G$ appelé centre de gravité de ce triangle.

Propriété 10 : Le centre de gravité d’un triangle est situé au deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

$\quad$

5. Dans les triangles isocèles et équilatéraux

Définition 9 :

Un triangle est dit isocèle s’il possède deux côtés de même longueur.
Un triangle est dit équilatéral si ses trois côtés ont la même longueur.

Remarque : Un triangle équilatéral est également isocèle.

Propriété 11 :Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, la hauteur, la médiatrice, la bissectrice et la médiane issue du sommet $A$ sont confondues.

Remarque : Dans un triangle équilatéral, cette propriété est vraie pour chacun des trois sommets.

$\quad$

6. Théorème de Pythagore

Théorème 1 : Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $BC^2=AB^2+AC^2$.

Remarque (contraposée) : Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2\neq AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $A$.

Propriété 12 (Réciproque) : Si dans un triangle $ABC$ on a la relation $BC^2=AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

$\quad$

7. Théorème de Thalès

Théorème 2 :On considère un triangle $ABC$, un point $D$ appartenant à la droite $(AB)$ distinct de $A$ et un point $E$ appartenant à la droite $(AC)$ distinct de $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles alors $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$.

Remarque (contraposée) : Si, dans les configurations ci-dessus, $\dfrac{AD}{AB}\neq \dfrac{AE}{AC}$ alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.

Propriété 13 (Réciproque) : On considère un triangle $ABC$, un point $D$ appartenant à la droite $(AB)$ distinct de $A$ et un point $E$ appartenant à la droite $(AC)$ distinct de $A$ tels que les points $A,B,D$ et $A,B,E$ soient alignés dans le même ordre.
Si $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Un cas particulier du théorème de Thalès et de sa réciproque.

Propriété 14 (Théorème des milieux) :

Dans un triangle $ABC$ on considère les points $D$ et $E$ respectivement milieux des segments $[AB]$ et $[AC]$ alors les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Dans un triangle $ABC$ on considère le point $D$ milieu du segment $[AB]$ alors la droite parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe le segment $[AC]$ en son milieu $E$.

$\quad$

8. Triangle rectangle et cercle

Théorème 3 : On considère un cercle de diamètre $[AB]$. Pour tout point $C$ (distinct de $A$ et de $B$), le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Propriété 15 (Réciproque) : Si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[AB]$ alors il est rectangle en $C$.

$\quad$

9. Triangle rectangle et médiane

Propriété 16 : On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$. La longueur de la médiane issue de $A$ est égale à la moitié de l’hypoténuse $[BC]$.

$\quad$

Propriété 17 (Réciproque) : On considère un triangle $ABC$. Si la médiane issue de $A$ a une longueur égale à la moitié du segment $[BC]$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

$\quad$

10. Trigonométrie dans un triangle rectangle

Définition 10 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on définit :

$\cos \widehat{B}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypténuse}}$
$\sin \widehat{B}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypténuse}}$
$\tan \widehat{B}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

$\quad$

III Angles

Ces définitions et propriétés étaient au programme du collège avant la réforme mise en place en 2016 et sont parfois encore vues par certains enseignants.

1. Différents types d’angles

Définition 11 : Deux angles sont dits opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Propriété 18 : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Définition 12 : Deux angles sont dits adjacents s’ils vérifient les trois propriétés suivantes : :

ils ont le même sommet;
ils ont un côté en commun;
ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Définition 13 : Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leur mesure vaut $90$°.

Définition 14 : Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leur mesure vaut $180$°.

Définition 15 : Deux angles sont dits correspondants lorsqu’ils sont situés :

du même côté de la droite $\Delta$;
l’un entre les droites $d_1$ et $d_2$ et l’autre ne l’est pas.

Propriété 19 : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si, et seulement si, les angles correspondants $\alpha$ et $\beta$ ont la même mesure.

Définition 16 : Deux angles sont dits alternes-internes lorsqu’ils sont situés :

de part et d’autre de la droite $\Delta$;
entre les droites $d_1$ et $d_2$.

Propriété 20 : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si, et seulement si, les angles alternes-internes $\alpha$ et $\beta$ ont la même mesure.

$\quad$

2. Angles au centre et angles inscrits

Définition 17 : On appelle angle au centre tout angle dont le sommet est le centre d’un cercle.

Définition 18 : On appelle angle inscrit tout angle dont le sommet est un point du cercle et les côtés sont sécants avec le cercle.

Propriété 21 : Si, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit intercepte le même arc alors la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit.

Propriété 22 : Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure.