2nd – Cours – Ensembles de nombres et intervalles

Ensembles de nombres et intervalles

I Ensembles de nombres

Depuis le début de la scolarité en mathématiques, différents types de nombres ont été manipulés sans forcément donner un nom aux ensembles utilisés.
Voici donc les différents ensembles de nombres à notre disposition :

  • Les entiers naturels
    Il contient tous les nombres entiers positifs ou nuls : $0, 1, 2, \ldots, 300, \ldots$
    Cet ensemble contient une infinité de valeurs. On le note $\N$.
    $\quad$
  • Les entiers relatifs
    Cet ensemble contient tous les entiers naturels ainsi que leurs opposés. C’est donc l’ensemble des entiers négatifs, positifs ou nuls : $\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$
    On le note $\Z$.
    $\quad$
  • Les nombres décimaux
    Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif et d’une puissance de $10$.
    Par exemple : $-2=\dfrac{-2}{1}$ ; $13=\dfrac{13}{1}$ ; $-12,7=\dfrac{-127}{10}$ ; $0,003=\dfrac{3}{1~000}$ sont des nombres décimaux.
    On note cet ensemble $\D$.
    $\quad$
  • Les nombres rationnels
    Cet ensemble contient tous les nombres pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
    Il contient donc tous les nombres décimaux.
    Par exemple : $-\dfrac{5}{7}$ ; $-12=\dfrac{-12}{1}$ ; $3=\dfrac{3}{1}$ ; $\dfrac{135}{17}$ sont des nombres rationnels.
    Cet ensemble est noté $\Q$.

$\quad$

Définition 1
On considère une droite graduée munie d’une origine $O$.
L’ensemble des abscisses des points de cette droite est appelé l’ensemble des nombres réels.
On le note $\R$.

$\quad$

Remarques :

  • Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont ni entiers, ni décimaux ni rationnels.
  • On dit qu’un nombre est irrationnel s’il n’est pas rationnel.

$\quad$

Propriété 1
L’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres décimaux qui est contenu dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des nombres réels. On note : $$\N\subset \Z \subset \D\subset \Q\subset \R$$

 

$\quad$

Propriété 2

Le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Preuve Propriété 2

Pour montrer cette propriété, nous allons raisonner par l’absurde, c’est-à-dire supposer une propriété vraie et montrer qu’on obtient une contradiction.

Supposons que $\dfrac{1}{3}\in \D$. Il existe donc un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}}$.
Cela signifie donc, en utilisant les produits en croix, que $10^{n}=3a$.
$3a$ est un multiple de $3$. Par conséquent $10^n=3a$ est également un multiple de $3$.
Donc $3$ divise $10$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Cela signifie par conséquent que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercices sur les ensembles de nombres

$\quad$

II Intervalles

Définition 2
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$.
On appelle intervalle ouvert $\boldsymbol{]a;b[}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$.
On appelle intervalle fermé $\boldsymbol{[a;b]}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x \pp b$.

$\quad$

Exemples :

  • $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
  • $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarques :

  • On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
    $\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x < b$
    $\quad$ $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \pp b$
  • La borne gauche d’un intervalle est toujours inférieure à sa borne droite.

$\quad$

Exemple : $[-2;5[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ inclus et $5$ exclu.

$\quad$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \pp x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit « plus l’infini », et $-\infty$, qui se lit « moins l’infini ».

Définition 3
Soit $a$ un nombre réel.
$\quad$ $]-\infty;a[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x<a$.
$\quad$ $]-\infty;a]$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x\pp a$.
$\quad$ $]a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a<x$.
$\quad$ $[a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a \pp x$.

$\quad$

Remarque 1: L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

Exemples :

  • l’intervalle $]-\infty;8]$ est l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à $8$;
  • l’intervalle $[3;+\infty[$ est l’ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $3$;

Remarque 2: On a les notations suivantes :

  • $\R = ]-\infty;+\infty[$
  • $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (où $\cup$ signifie « union »)
  • $\R_+ = [0;+\infty[$
  • $\R_-=]-\infty;0]$

Voici des exemples illustrant les différents cas de figure qu’on peut rencontrer :

Définition 4
On considère deux intervalles $I$ et $J$.

  • $I\cup J$ (on lit \og $I$ union $J$ \fg{}) est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’intervalle $I$ ou à l’intervalle $J$ (éventuellement aux deux).
  • $I\cap J$ (on lit \og $I$ inter $J$ \fg{}) est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à l’intervalle $I$ et à l’intervalle $J$.

$\quad$

Exemples :

  • $[-2;6]\cup[3;8] = [-2;8]$;
  • $[-2;6]\cap[3;8] = [3;6]$;
  • $[-4;1]\cap[2;3] = \emptyset$ : les deux intervalles n’ont aucun nombres en commun.

Propriété 3
On considère deux réels $a$ et $b$.

  • $a<b$ est équivalent à $a-b<0$
  • $a>b$ est équivalent à $a-b>0$

$\quad$

Remarque : On peut écrire les mêmes inégalités en utilisant les symboles $\pp$ et $\pg$.

Ainsi si on veut déterminer lequel des deux nombres $a$ et $b$ est le plus grand on peut étudier le signe de $a-b$.

Définition 5
Encadrer un nombre $x$ revient à déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $a\pp x\pp b$.
Le nombre $b-a$ est appelé l’amplitude de cet encadrement.

$\quad$

Exemple : $1,41 \pp \sqrt{2} \pp 1,42$. L’amplitude de cet encadrement de $\sqrt{2}$ est $1,42-1,41=0,01$.

Définition 6
On considère un entier naturel $n$ et nombre réel $x$.
Fournir un encadrement à $10^{-n}$ près du nombre $x$ consiste à donner un encadrement d’amplitude $10^{-n}$ contenant le réel $x$.

$\quad$

Exemple : $3,141 \pp \pi \pp 3,142$ est un encadrement à $10^{-3}$ près de $\pi$.

$\quad$

Exercices sur les intervalles

Exercices sur les encadrements

$\quad$

III Valeur absolue d’un nombre réel

Définition 7
On considère deux points $A$ et $B$ d’une droite graduée dont les abscisses respectives sont $a$ et $b$ avec $a<b$.
On appelle distance entre les deux points $A$ et $B$ le nombre $b-a$.

$\quad$

Exemple :
La distance entre les points $A$ et $B$ est égale à $3-(-2)=5$.

Définition 8
On considère un point $A$ d’abscisse $a$ d’une droite graduée d’origine $O$. On appelle valeur absolue de $a$, notée $|a|$ , la distance entre les points $A$ et $O$.

$\quad$

Propriété 4
On considère un nombre réel $x$. On a alors $|x|=\begin{cases}\phantom{-}x &\text{ si } x\pg 0\\-x&\text{ si } x<0\end{cases}$.

$\quad$

Exemples : $|2,5|=2,5-0=2,5$ ; $|-3,2|=0-(-3,2)=3,2$.

Propriété 5
On considère un nombre réel $a$ positif ou nul.

  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|=a$ est $\left\{ -a;a\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|<a$ est $]-a;a[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pp a$ est $[-a;a]$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|>a$ est $]-\infty;-a[~\cup~ ]a;+\infty[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pg a$ est $]-\infty;-a]\cup [a;+\infty[$.

$\quad$

Exemples :

  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|=1$ est $\left\{-1;1\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|<2$ est $]-2;2[$;
  • item L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|\pg 5$ est $]-\infty;-5]\cup[5;+\infty[$.
Propriété 6
On considère deux nombres $A$ et $B$ d’une droite graduée d’abscisses respectives $a$ et $B$.
On a alors $AB=|a-b|$.

$\quad$

Preuve Propriété 6

  • Si $a\pg b$ alors $AB=a-b$.
    Puisque $a\pg b$, cela signifie que $a-b\pg 0$ donc $|a-b|=a-b=AB$.
  • Si $a\pp b$ alors $AB=b-a$.
    Puisque $a\pp b$, cela signifie que $a-b\pp 0$ donc $|a-b|=-(a-b)=b-a=AB$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : La distance entre le point $A$ d’abscisse $-4$ et le point $B$ d’abscisse $5$ est $|-4-5|=9$.

Propriété 7
On considère un nombre réel $a$ et un nombre réel strictement positif $r$.
On a alors $x\in [a-r;a+r] \ssi |x-a| \pp r$.

$\quad$

Exemple : On considère l’intervalle $I=[6;9]$. Le centre de l’intervalle est donc $a=\dfrac{6+9}{2}=7,5$.
Ainsi $r=9-7,5=1,5$.
Par conséquent $x\in [6;9] \ssi |x-7,5|\pp 1,5$

$\quad$

Exercices sur la valeur absolue

$\quad$

IV Notations

On utilise parfois, seulement dans un contexte mathématique et donc jamais au sein d’une phrase, quelques symboles dits mathématiques :

  • $\in$, qui se lit « appartient à » et $\notin$ qui se lit « n’appartient pas à ».
    On peut écrire $x\in [2;3]$ ou $A\in (AB)$ et $-3\notin [1;2]$
    $\quad$
  • $\forall$ qui se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
    On peut écrire $\forall x\in [2;3]$ pour dire \og pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;3]$\fg{}.
    $\quad$
  • $\ssi$ qui se lit « si, et seulement si » ou « est équivalent à ».
    Ce symbole se place par exemple entre deux équations : $x-2=3 \ssi x=5$.
    Attention à ne pas confondre les symboles $\ssi$ et $=$ .

$\quad$

V Quelques points d’histoire

Le nombre $\sqrt{2}$ était probablement connu des babyloniens (entre, environ, $-2~000$ et $-1~600$ avant notre ère). Sur une tablette exposée à l’université de Yale, on peut y voir la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de $\sqrt{2}$.

Le nombre d’or, dont la valeur est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, est un nombre irrationnel connu depuis au moins l’antiquité qui a souvent été utilisé pour son aspect esthétique dans l’art.

Archimède a été le premier à donner une méthode mathématique fournissant un encadrement du nombre $\pi$. En 2019, Emma Haruka Iwao a trouvé les $3~141~592~653~589$ premières décimales de $\pi$.

$\quad$