2nd – Cours – Équations de droites

Équations de droites

Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère $\Oij$.

I Équations cartésiennes

Définition 1 : On appelle vecteur directeur d’une droite $d$ tout vecteur non nul dont la droite $d$ est la direction de ce vecteur.

$\quad$

Remarques :

  • Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs.
  • Tous les vecteurs directeurs sont colinéaires entre eux.
  • Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de la droite $d$ alors $\vect{AB}$ est un vecteur directeur de cette droite.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ sont des vecteurs directeurs de la droite $d$.

$\quad$

Propriété 1 :

  • Toute droite $d$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $(a,b)\neq (0,0)$.
    L’équation $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de la droite $d$.
  • Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ tels que $(a,b)\neq (0,0)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x-3y+6=0$.
Si $x=0$ alors $-3y+6=0 \ssi y=2$ : le point $A(0;2)$ appartient à la droite $d$.
Si $y=0$ alors $2x+6=0 \ssi x=-3$ : le point $B(-3;0)$ appartient à la droite $d$.
Il ne reste plus qu’à placer ces deux points dans un repère pour pouvoir tracer la droite $d$.

$\quad$

Remarque : On peut évidemment choisir d’autres valeurs que $x=0$ ou $y=0$.

$\quad$

Preuve Propriété 1

  • Soit $A\left(x_A;y_A\right)$ un point de $d$ et $\vec{u}(\alpha;\beta)$ un vecteur directeur de $d$.
    On considère un point $M(x;y)$ du plan. Ainsi $\vect{AM}\left(x-x_A;y-y_A\right)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires.
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi \beta\left(x-x_A\right)-\alpha\left(y-y_A\right)=0$
    $\ssi \beta x-\beta x_A-\alpha y+\alpha y_A=0$
    $\ssi \beta x-\alpha y-\beta x_A+\alpha y_A=0$
    Ainsi en notant $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=-\beta x_A+\alpha y_A$ on obtient bien une équation de la forme $ax+by+c=0$.
  • On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$ et on appelle $\mathscr{E}$ l’ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$.
    $-$ Si $a\neq 0$ alors il existe un réel $x_0$ tel que $ax_0+b\times 0+c=0 \ssi x_0=-\dfrac{c}{a}$. Le point $M_0\left(-\dfrac{c}{a};0\right)$ appartient donc à $\mathscr{E}$.
    $-$ Si $b\neq 0$ alors il existe un réel $y_0$ tel que $a\times 0+b\times y_0+c=0 \ssi y_0=-\dfrac{c}{b}$. Le point $M_0\left(0;-\dfrac{c}{b}\right)$ appartient donc à $\mathscr{E}$.
    Puisque $(a;b)\neq (0;0)$, l’ensemble $\mathscr{E}$ est donc non vide.
    Il existe donc un point $M_0\left(x_0;y_0\right)$ tel que $ax_0+by_0+c=0 \qquad (1)$.
    Soit $M(x;y)$ un autre point de $\mathscr{E}$. Ainsi $ax+by+c=0\qquad (2)$.
    Par conséquent, en effectuant la différence $(2)-(1)$, on obtient $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0$.
    En appelant $\vec{u}(-b;a)$, cela signifie donc det$\left(\vect{MM_0};\vec{u}\right)=0$ et donc que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{MM_0}$ sont colinéaires.
    L’ensemble $\mathscr{E}$ est la droite $d$ passant par le point $M_0$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
    $\quad$

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$\quad$

Remarque : Une droite possède une infinité d’équations cartésiennes (il suffit de multiplier les deux membres de l’équation par n’importe quel réel non nul).

$\quad$

Propriété 2 : Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite d’équation $ax+by+c=0$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x+5y+7=0$.
L’équation est de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=2$, $b=5$ et $c=7$.
Ainsi un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-5;2)$.

$\quad$

Propriété 3 (Réciproque) : Si $\vec{u}(\alpha;\beta)$ est un vecteur directeur d’une droite $d$ alors une équation cartésienne de cette droite est de la forme $\beta x-\alpha y+c=0$ où $c$ est un réel à déterminer.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ passant par le point $A(1;-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;8)$.
Une équation cartésienne de cette droite est de la forme $8x-3y+c=0$.
$A\in d \ssi 8\times 1-3\times (-2)+c=0 \ssi 8+6+c=0 \ssi c=-14$
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $8x-3y-14=0$

Cas particuliers :

  • Si $\boldsymbol{a=0}$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ s’écrit alors $by+c=0$. En divisant par $b$ (qui est non nul puisque $a=0$), on obtient une équation de la forme $y=k$.
    La droite $d$ est donc parallèle à l’axe des abscisses et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{i}(1;0)$.
  • Si $\boldsymbol{b=0}$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ s’écrit alors $ax+c=0$. En divisant par $a$ (qui est non nul puisque $b=0$), on obtient une équation de la forme $x=k$.
    La droite $d$ est donc parallèle à l’axe des ordonnées et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{j}(0;1)$.

$\quad$

Exemple : Ci-dessous, ont été représentées les droites :

  • $d_1$ dont une équation cartésienne est $y-2=0$ (donc $a=0$);
  • $d_2$ dont une équation cartésienne est $x+3=0$ (donc $b=0$);
  • $d_3$ dont une équation cartésienne est $x+y-1=0$ (donc $a\neq 0$ et $b\neq 0$).


$\quad$

$\quad$

II Équations réduites

Propriété 4 :

  • Toute droite $d$ non parallèle à l’axe des ordonnées possède une équation de la forme $y=mx+p$, appelée l’équation réduite de cette droite, où $m$ et $p$ sont des réels.
  • Toute droite $d$ parallèle à l’axe des ordonnées possède une équation de la forme $x=k$, appelée l’équation réduite de cette droite, où $k$ est un réel.

$\quad$

Preuve Propriété 4

La droite $d$ possède une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ dont un vecteur directeur est $\vec{u}(-b;a)$.

  • La droite $d$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Le vecteur $\vec{j}(0;1)$ n’est donc pas un vecteur directeur de cette droite. Cela signifie donc que $b$ n’est pas nul.
    Ainsi : $ax+by+c=0 \ssi by=-ax-c \ssi y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$
    En notant $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=-\dfrac{c}{b}$, la droite $d$ possède bien une équation de la forme $y=mx+p$.
    $\quad$
  • La droite $d$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Par conséquent $b=0$.
    Puisque $(a;b)\neq (0;0)$ cela signifie donc que $a\neq 0$.
    Donc $ax+c=0 \ssi ax=-c \ssi x=-\dfrac{c}{a}$.
    En notant $k=-\dfrac{c}{a}$, la droite $d$ possède bien une équation de la forme $x=k$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 5 : Si une droite $d$ possède une équation réduite de la forme $y=mx+p$ alors le vecteur $\vec{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de cette droite.

$\quad$

Preuve Propriété 5

D’après la preuve de la propriété précédente, si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de la droite $d$ alors $y=mx+p$ avec $m=-\dfrac{a}{b}$ est une équation réduite de cette droite.
Le vecteur $\vec{v}(-b;a)$ est un vecteur directeur de cette droite.
Ainsi $\vec{u}=-\dfrac{1}{b}\vec{v}\left(1;-\dfrac{a}{b}\right)$ est également un vecteur directeur de $d$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : La droite d’équation réduite $y=3x+4$ admet le vecteur $\vec{u}(1;3)$ comme vecteur directeur.

$\quad$

Définition 2 : On considère la droite $d$ dont une équation réduite est de la forme $y=mx+p$.
Le nombre $m$ est appelé le coefficient directeur de la droite et le nombre $p$ est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation réduite $y=-2x+4$.
Le coefficient directeur de $d$ est $m=-2$ et son ordonnée à l’origine est $p=4$.

$\quad$

Propriété 6 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ tels que $x_A\neq x_B$.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

$\quad$

Remarque : On a aussi $m=\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$.

$\quad$

Preuve Propriété 6

Puisque $x_A\neq x_B$, la droite $d$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. L’équation réduite de $d$ est donc de la forme $y=mx+p$.
Le point $A$ appartient à la droite $d$. Donc $y_A=mx_A+p$.
Le point $B$ appartient à la droite $d$. Donc $y_B=mx_B+p$.
Ainsi :
$\begin{align*} y_B-y_A&=mx_B+p-\left(mx_A+p\right) \\
&=mx_B+p-mx_A-p \\
&=mx_B-mx_A\\
&=m\left(x_B-x_A\right) \end{align*}$
Par conséquent $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(2;5)$ et $B(6;-1)$.
On a $x_A=2$ et $x_B=6$ donc $x_A\neq x_B$.
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
On a
$\begin{align*}
m&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\
&=\dfrac{-1-5}{6-2}\\
&=\dfrac{-6}{4}\\
&=-\dfrac{3}{2}
\end{align*}$
L’équation réduite de la droite $d$ est donc $y=-\dfrac{3}{2}x+p$
Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
Par conséquent $y_A=-\dfrac{3}{2}x_A+p$ soit $5=-\dfrac{3}{2}\times 2+p \ssi 5=-3+p \ssi p=8$.
Vérification : On va utiliser les coordonnées du point $B(6;-1)$
$-\dfrac{3}{2}x_B+8=-\dfrac{3}{2}\times 6+8=-9+8=1=y_B \quad \checkmark$
$\quad$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=-\dfrac{3}{2}x+8$.

$\quad$

Interprétation géométrique du coefficient directeur

On considère une droite $d$ dont l’équation réduite est $y=mx+p$.

  • Si $\boldsymbol{m>0}$

    Quand on augmente de $1$ l’abscisse d’un point de $d$, l’ordonnée augmente de $m$.
    $\quad$
  • Si $\boldsymbol{m<0}$

    Quand on augmente de $1$ l’abscisse d’un point de $d$, l’ordonnée diminue de $m$.
    $\quad$

III Positions relatives de deux droites

Propriété 7 : On considère deux droites $d$ et $d’$ dont des équations cartésiennes sont respectivement $ax+by+c=0$ et $a’x+b’y+c’=0$.
$d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si, $ab’-a’b=0$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation $2x+5y-6=0$ et la droite $d’$ d’équation $3x+7y+4=0$.
On a $a=2$, $b=5$, $c=-6$, $a’=3$, $b’=7$ et $c’=4$
Par conséquent $ab’-a’b=2\times 7-3\times 5=14-15=-1 \neq 0$.
Les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.

$\quad$

Preuve Propriété 7

$\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite $d$ et $\vect{u’}(-b’;a’)$ est un vecteur directeur de la droite $d’$.
$\phantom{\ssi} d$ et $d’$ sont parallèles
$\ssi$ $\vec{u}$ et $\vect{u’}$ sont colinéaires.
$\ssi$ det$\left(\vec{u},\vect{u’}\right)=0$
$\ssi$ $ab’-b’a=0$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 8 (Cas des équations réduites) : On considère la droite $d$ dont l’équation réduite est $y=mx+p$ et la droite $d’$ dont l’équation réduite est $y=m’x+p’$.
Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si, $m=m’$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont l’équation réduite est $y=2x+5$ et la droite $d’$ parallèle à la droite $d$ passant par le point $A(5;-1)$.
La droite $d’$ est parallèle à la droite $d$. Elles ont donc le même coefficient directeur.
L’équation réduite de la droite $d’$ est donc de la forme $y=2x+p$.
Le point $A(5;-1)$ appartient à la droite $d’$.
Ainsi $-1=2\times 5+p \ssi -1=10+p \ssi p=-11$.
L’équation réduite de la droite $d$ est donc $y=2x-11$.

$\quad$

Propriété 9 (Points alignés) : Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si les trois points ont la même abscisse ou si les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(1;7)$, $B(5;19)$ et $C(-6;-14)$.
$x_A\neq x_B$ : le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $m_1=\dfrac{19-7}{5-1}=3$
$x_A\neq x_C$ : le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est $m_2=\dfrac{-14-7}{-6-1}=3$
Ainsi $m_1=m_2$ et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\quad$

Propriété 10 : On considère la droite $d$ d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ et la droite $d’$ d’équation cartésienne $ax+by+c’=0$.
$d$ et $d’$ sont confondues si, et seulement si, $c=c’$.

$\quad$

Preuve Propriété 10

Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur des droites $d$ et $d’$. Cela signifie donc que $d$ et $d’$ sont parallèles.
On considère un point $A\left(x_A;y_A\right)$ appartenant à la droite $d$.
On a ainsi $ax_A+by_A+c=0 \ssi ax_A+by_A=-c$.
$\phantom{\ssi}$ $d$ et $d’$ sont confondues
$\ssi$ $A$ appartient également à $d’$
$\ssi ax_A+by_A+c’=0$
$\ssi -c+c’=0$
$\ssi c=c’$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 11 : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ et la droite $d’$ dont une équation cartésienne est $a’x+b’y+c’=0$.
Si les droites $d$ et $d’$ sont sécantes alors les coordonnées du point d’intersection est l’unique couple solution du système $\begin{cases} ax+by+c=0\\a’x+b’y+c’=0\end{cases}$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation cartésienne $2x+3y-4=0$ et la droite $d’$ d’équation cartésienne $-x+5y+7=0$.
On a $2\times 5-3\times (-1)=10+6=16\neq 0$. Les droites $d$ et $d’$ sont donc sécantes.
Les coordonnées du point d’intersection est l’unique couple solution du système $\begin{cases} 2x+3y-4=0\\-x+5y+7=0\end{cases}$.
On a ainsi $\begin{cases} 2x+3y-4=0\\-x+5y+7=0\end{cases} \ssi \begin{cases} 2x+3y=4\\-x+5y=-7\end{cases}$.
$\quad$

Nous allons voir dans la prochaine partie comment résoudre un tel système d’équations.

$\quad$

IV Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues

Il existe plusieurs méthodes de résolution de systèmes linéaires. En voici deux d’entre-elles.

  1. Par combinaisons linéaires
    Le but est de multiplier les lignes par des coefficients astucieusement choisis pour qu’en additionnant ou soustrayant les lignes entre-elles une des inconnues « disparaisse ».
    Exemple : On veut résoudre le système $\begin{cases} 3x+5y=-5 &\quad L_1\\2x-7y=-24&\quad L_2\end{cases}$
    $\begin{align*} \begin{cases} \color{red}{3}\color{black}{x}+5y=-5 &\quad L_1\\\color{red}{2}\color{black}{x}-7y=-24&\quad L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 3x+5y=-5& \\\phantom{2x-}31y=62&\quad \color{red}{2}\color{black}{L_1}-\color{red}{3}\color{black}{L_2}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=2\\3x+5\times 2=-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=2 \\3x=-15\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=-5\\y=2\end{cases}\end{align*}$
    La solution du système est $(-5;2)$.
    $\quad$
  2. Par substitution
    Le but de cette méthode est d’exprimer une inconnue en fonction d’une autre puis de la remplacer dans la seconde équation par l’expression obtenue.
    Exemple : On veut résoudre le système $\begin{cases} x+3y=5\\2x-5y=-1\end{cases}$
    $\begin{align*}\begin{cases} x+3y=5\\2x-5y=-1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\2x-5y=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \fbox{$x=5-3y$}\\2\left(\fbox{$5-3y$}\right)-5y=-1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\10-6y-5y=-1\end{cases}\\
    & \ssi \begin{cases} x=5-3y\\-11y=-11\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\y=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=1\end{cases}\end{align*}$
    La solution du système est $(2;1)$.
    $\quad$

Remarque : Dans le cas général, à chaque étape, il y a autant d’équations dans le système qu’il y en avait dans le système initial.

$\quad$

V Interprétation géométrique des systèmes d’équations linéaires

Quand on résout un système on peut être confronté à trois cas :

  • Le système admet un unique couple solution
    Exemple : On considère le système $\begin{cases} x-y=1\\x+3y=9\end{cases}$.
    Après résolution du système, on obtient comme solution le couple $(3;2)$.
    Cela signifie que les droites $d$ d’équation $x-y-1=0$ et $d’$ d’équation $x+3y-9=0$ sont sécantes et que leur point d’intersection a pour coordonnées $(3;2)$.

    $\quad$
  • Le système n’admet aucune solution
    Exemple : On considère le système $\begin{cases} 2x+5y=13 \\2x+5y=2 \end{cases}$.
    Aucun couple n’est solution de ce système puisque les deux équations ont le même premier membre et des seconds membres différents. Cela signifie que les droites $d$ d’équation $2x+5y-13=0$ et $d’$ d’équation $2x+5y-2=0$ sont strictement parallèles.

    $\quad$
  • Le système possède une infinité de solution
    Exemple : On considère le système
    $\begin{align*}\begin{cases}2x-3y=1\\-4x+6y=-2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2x-3y=1 \\-2(2x-3y)=-2\times 1\end{cases}\\ &\ssi 2x-3y=1 \end{align*}$
    Le système possède donc une infinité de solution (tous les couples $(x;y)$ vérifiant $2x-3y=1$).
    Cela signifie que les droites $d$ d’équation $2x-3y-1=0$ et $d’$ d’équation $-4x+6y+2=0$ sont confondues.

    $\quad$