2nd – Cours – Équations de droites

Équations de droites

I Équations de droites

Dans cette partie, le plan est muni d’un repère $(O;I,J)$.

Propriété 1 : On considère une droite $\mathscr{D}$ non parallèle à l’axe des ordonnées. Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels qu’une équation de $\mathscr{D}$ soit $y=ax+b$.
Preuve Propriété 1

Puisque $\mathscr{D}$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle coupe cet axe en un point $B$ de coordonnées $(0;b)$.

On appelle $A$ le point de $\mathscr{D}$ d’abscisse $1$. On a ainsi $A(1;y_A)$.
On appelle $C$ le point de coordonnées $(1;b)$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$.

Soit $M$ un point quelconque de la demi-droite $[BA)$. On appelle $(x;y)$ ses coordonnées.
On considère le point $N$ de coordonnées $(x;b)$.
Le triangle $MBN$ est donc rectangle en $N$.

2nd - cours - équations de droites - fig0

Dans les triangles $BMN$ et $BAC$ on a :

  • $C \in [BN]$ et $A \in [BM]$
  • Puisque les droites $(AC)$ et $(MN)$ sont perpendiculaires à $(BN)$ elles sont parallèles entre-elles.

D’après le théorème de Thalès, on a donc : $$\dfrac{BC}{BN}=\dfrac{BA}{BM} = \dfrac{AC}{MN}$$

Or $BC = 1$, $BN = x$, $AC = y_A- b$ (dans cette configuration) et $MN = y-b$ (dans cette configuration également)

On obtient ainsi $\dfrac{1}{x} = \dfrac{BA}{BM} = \dfrac{y_A-b}{y-b}$

Par conséquent $\left(y_A-b \right)x = y-b$ $\ssi y = \left(y_A-b \right)x + b$

On appelle $a = y_A – b$ on obtient ainsi $y=ax+b$

Les autres configurations ($a<0$ et/ou $M\in [BA]$) s’obtiennent de la même manière.

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Remarque 1 : Si la droite $\mathscr{D}$ passe par l’origine du repère alors $b=0$

Remarque 2 : La droite $\mathscr{D}$ est donc l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;ax+b)$ pour tout réel $x$.

Exemple : La droite $(AB)$ a pour équation $y=-2x+3$
2nd - cours - équations de droites - fig1

 

Tous les points de cette droite ont pour coordonnées $(x;-2x+3)$.

 Définition 1 : Soit $\mathscr{D}$ une droite dont une équation est $y=ax+b$.
On dit alors que :

  • $a$ est le coefficient directeur de la droite $\mathscr{D}$
  • $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $\mathscr{D}$

Le coefficient directeur d’une droite $(AB)$ est donc $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{y_B- y_A}{x_B- x_A}$.

Exemple : 

2nd - cours - équations de droites - fig3

$A(1;-2)$ et $B(4;2)$
On a par conséquent $\Delta_y = 2-(-2) = 4$ et $\Delta_x = 4-1 = 3$
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc $a = \dfrac{4}{3}$.

 Propriété 2 : On considère une droite $\mathscr{D}$ parallèle à l’axe des ordonnées. Il existe alors un réel $a$ tel qu’une équation de $\mathscr{D}$ soit $x=a$.
Preuve Propriété 2

Puisque la droite $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des ordonnées, il existe un unique point d’intersection $A$ entre l’axe des abscisses et $\mathscr{D}$. Les coordonnées de $A$ sont donc de la forme $(x_A;0)$.

Soit $M(x;y)$ un autre point de $\mathscr{D}$. $M$ a donc la même abscisse que $A$.
Par conséquent $x=x_A$. En posant $a=x_A$, on a bien $x=a$.

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Remarque : La droite $\mathscr{D}$ est donc l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(a;y)$ pour tout réel $y$.

Exemple : La droite $(AB)$ a pour équation $x=2$.
2nd - cours - équations de droites - fig2

Tous les points de cette droite ont des coordonnées de la forme $(2;y)$.

II Positions relatives de deux droites

On considère deux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ du plan.

  • Si $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont parallèles à l’axe des ordonnées
    L’équation de $\mathscr{D}$ est alors $x=a$ et celle de $\mathscr{D}’$ est $x=a’$.
    Par conséquent si $a=a’$ alors les deux droites sont confondues, sinon elles sont strictement parallèles.
    2nd - cours - équations de droites - fig4
  • Si $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des ordonnées et $\mathscr{D}’$ ne l’est pas
    Les droites $\mathscr{D}$, d’équation $x=c$, et $\mathscr{D}’$, d’équation $y=ax+b$, sont donc sécantes.
    Le point d’intersection a pour coordonnées $(c,ac+b)$.
    2nd - cours - équations de droites - fig5
  • Si aucune des droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ n’est parallèle à l’axe des ordonnées.
    Propriété 3 : $\mathscr{D}$ a une équation de la forme $y=ax+b$ et $\mathscr{D}’$ une équation de la forme $y=a’x+b’$.
    $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont parallèles si, et seulement si, $a=a’$.

    2nd - cours - équations de droites - fig6
    $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ont le même coefficient directeur mais celui de $\mathscr{D}\prime \prime $ est différent.
    Remarque : Si $a=a’$ et $b \ne b’$ alors les deux droites sont strictement parallèles et si $a=a’$ et $b=b’$ alors les deux droites sont confondues.

III Alignement de points

 Propriété 4 : Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
$A, B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.

Exemple : On considère les points $A(-2;2)$, $B(2;-1)$ et $C(50;-37)$. Sont-ils alignés?

  • Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $$\begin{align*} a_1 &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\
    &= \dfrac{-1 -2}{2 – (-2)} \\\\
    &= \dfrac{-3}{4}
    \end{align*} $$$\quad$
  • Le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est :
    $\begin{align*} a_2 &= \dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} \\\\
    & = \dfrac{-37 – 2}{50 – (-2)} \\\\
    &= \dfrac{-39}{52} \\\\
    &=\dfrac{-3}{4}
    \end{align*}$

Par conséquent les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.

Remarque : On peut aussi déterminer une équation de la droite $(AB)$ et chercher si le point $C$ vérifie ou non l’équation.

Les autres cours de 2nd sont ici.