Géométrie dans l’espace

I Droites et plans

Voici quelques règles qui vont régir l’ensemble des définitions et propriétés de ce cours.

Propriété 1 : règle d’incidence

Il n’est possible de faire passer qu’une unique droite par deux points de l’espace donné.
Trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ non alignés définissent un unique plan qu’on notera $(ABC)$.
On considère deux points distincts $A$ et $B$ d’un plan. La droite $(AB)$ est alors incluse dans ce plan.
Quand on travaille dans un plan de l’espace, toutes les règles de géométrie plane s’appliquent dans ce plan.

Cette propriété nous fournit une façon de définir un plan à l’aide de trois points.
On peut également définir un plan :

A l’aide de deux droites sécantes
A l’aide de deux droites strictement parallèles
A l’aide d’une droite et d’un point n’appartenant pas à cette droite

Remarque : Il existe deux façons très courantes de représenter un plan de l’espace :

A l’aide d’un cube

Le plan $(IJKLM)$ est construit à l’intérieur du cube $ABCDEFGH$.
A l’aide d’un parallélogramme

Dans chacune des représentations, il faut garder à l’esprit qu’un plan est infini : on peut donc prolonger la représentation qui en a été faite si c’est nécessaire.

Définition 1 : Quatre points (ou plus) sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Remarque : La question ne se pose pas, au regard de ce qui a été dit précédemment, pour deux ou trois points.

$\quad$

II Positions relatives

1. Positions relatives d’une droite et d’un plan

Définition 2 : Une droite est dite parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou si le plan et la droite n’ont aucun point en commun.

La droite peut donc être :

Sécante au plan
Strictement parallèle au plan
Incluse dans le plan

2. Positions relatives de deux droites

Définition 3 : Deux droites sont dites coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.

2 droites peuvent donc être :

Coplanaires : elles sont alors sécantes, strictement parallèles ou confondues;
Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun.

3. Positions relatives de deux plans

Deux plans peuvent être :

Parallèles : Ils sont alors soit confondus, soit strictement parallèles
Sécants

Propriété 2 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

III Parallélisme

Propriété 3 : Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d’$ d’un plan $\mathscr{P}$ alors la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.

Preuve Propriété 3

Il y a deux cas à considérer : la droite $d$ est incluse ou n’est pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.

Si $d$ est incluse dans $\mathscr{P}$
Par définition elle est alors parallèle au plan.
Si $d$ n’est pas incluse dans $\mathscr{P}$
Les deux droites $d$ et $d’$ sont donc strictement parallèles et définissent ainsi un plan $\mathscr{P}’$.
La droite $d’$ appartient aux deux plans : $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sont sécants selon la droite $d’$.
Supposons que $d$ et $\mathscr{P}$ soit sécants en un point $M$.
Le point $M$ appartient donc aux deux plans et par conséquent à $d’$.
Les deux droites étant strictement parallèles, elles ne peuvent pas avoir de point en commun.
La supposition qui a été faite était donc fausse.
La droite $d$ est par conséquent parallèle au plan $\mathscr{P}$.

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$\quad$

Propriété 4 : Si deux plans strictement parallèles sont coupés par un troisième plan alors les droites d’intersections sont parallèles.

Voici une propriété très utile pour montrer que deux plans sont parallèles à partir de droites sécantes.

Propriété 5 : Si deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ d’un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes $d’_1$ et $d’_2$ d’un plan $\mathscr{P}’$ alors les deux plans sont parallèles.

Théorème du toit : On considère deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$ appartenant respectivement à deux plans sécants $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ dont l’intersection est la droite $\Delta$.

Les droites $\Delta$, $d_1$ et $d_2$ sont alors parallèles.