2nd – cours – fonctions de référence

Fonctions de référence

I Vocabulaire sur les fonctions

 Définition 1 : Soit $\mathscr{D}$ une partie de $\R$. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathscr{D}$ revient à associer à chacun des réels $x$ de $\mathscr{D}$ un unique réel $y$.
L’ensemble $\mathscr{D}$ est appelé ensemble de définition de la fonction $f$.
Le réel $y$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$ et on note alors $y= f(x)$, qui se lit “$f$ de $x$”.

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
$$\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}$$

Remarque : Le nombre $x$ est appelé la variable de la fonction.
L’ensemble de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe. Il est parfois noté $\mathscr{D}_f$.

Exemple 1 : On considère la fonction $f$ définie pour tous les réels qui a tout nombre associe sa moitié.
On a ainsi : $\mathscr{D}_f = \R$ et $f(x) = \dfrac{x}{2}$.

Exemple 2 : On considère la fonction $g$ qui a tout nombre positif associe sa racine carrée.
On a ainsi $\mathscr{D}_g = [0;+\infty[$ et $g(x) = \sqrt{x}$.

Exemple 3 : Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ telle que $h(x) = x^2 + 2x$.
L’image de $1$ est $h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$
L’image de $-3$ est $h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3$
Les réels $1$ et $-3$ ont donc la même image par la fonction $h$.

Remarque : La définition 1 précise bien qu’un réel ne peut pas avoir plusieurs images par une même fonction. En revanche, comme on vient de la constater, plusieurs réels peuvent avoir la même image.

Définition 2 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ et $a$ un réel appartenant à $\mathscr{D}_f$. On appelle $b$ l’image de $a$ par la fonction $f$. On a donc $f(a) = b$.
On dit alors que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.

Ainsi dans l’exemple 3, $1$ et $-3$ sont deux antécédents de $3$.

 Définition 3 : On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$. Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathscr{C}_f$ l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.

On dit alors qu’une équation de la courbe $\mathscr{C}_f$ est $y = f(x)$.

2nd - cours - intervalles - fig 3.1

Sur cet exemple, le point $A(-4;0)$ appartient à la représentation graphique de $f$.

$\quad$


$\quad$

II Fonctions linéaires et affines

 Définition 4 : Une fonction $f$ définie sur $\R$ est dit affine s’il existe deux réels $a$ et $b$ tel que, pour tout réel $x$, on ait $f(x) = ax+b$.
Si $b= 0$ la fonction $f$ est alors dite linéaire.
Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur.
Le nombre $b$ est appelé l’ordonnée à l’origine.

Exemple : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x + 1$ est une fonction affine.

 Propriété 1 : La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère du plan est une droite.
 Propriété 2 : (Réciproque) Dans un repère du plan, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

Remarque 1 : Le cas des droites parallèles à l’axe des ordonnées sera abordé dans le chapitre sur les équations de droites.

Remarque 2 : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Exemple de rédaction :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x+1$.

La fonction $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.

  • Si $x=-2$ alors $f(-2)=3\times (-2)+1=-5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-2;-5)$.
  • Si $x=1$ alors $f(1)=3\times 1+1=4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(1;4)$.

Remarque : Les abscisses $-2$ et $1$ ont été choisies « au hasard ». Au regard de l’échelle du graphique, ces deux abscisses sont raisonnablement espacées (ni trop près, ni trop éloignées) et permettent de placer deux points appartenant à la droite dans le repère donné.

$\quad$

Propriété 3 : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$

Remarque : Cette propriété permet, connaissant les coordonnées de deux points d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées (ou l’image de deux réels par la fonction $f$) de retrouver l’expression algébrique d’une fonction affine.

Exemple : On considère une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4$
La fonction $f$ est affine. On appelle $a$ son coefficient directeur.
D’après la propriété précédente on a alors :
$$\begin{align*} a &= \dfrac{f(5)-f(2)}{5-2} \\
&= \dfrac{4-3}{3} \\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align*}$$

Remarque : On aurait également pu faire le calcul $\dfrac{f(2)-f(5)}{2-5}$. On aurait obtenu la même valeur pour $a$.

$\quad$

III La fonction carré

 Définition 5 : On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}0&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&9&4&1&0&1&4&9\\\\
\hline
\end{array}$$

 Définition 6 : Dans un repère $(O;I,J)$ la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole de sommet $O$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig2

Propriété 4: On considère $f$ la fonction carré.
Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=f(x)$. On dit alors que la fonction carré est paire.
Graphiquement, cela signifie que l’axe des ordonnées est un axe de symétrique pour la courbe représentative de la fonction $f$.

$\quad$

Preuve Propriété 4

Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 : Soit $a$ un réel.

  • Si $a > 0$, l’équation $x^2 = a$ possède deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  • Si $a= 0$, l’équation $x^2 = a$ possède une unique solution $0$.
  • Si $a < 0$, l’équation $x^2 = a$ ne possède aucune solution réelle.
Preuve Propriété 5

  • Puisque $a > 0$, on peut écrire :
    $$\begin{align*} x^2 = a & \ssi x^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \\
    & \ssi x^2-\left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\
    & \ssi \left(x-\sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0
    \end{align*}$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x-\sqrt{a} = 0 \ssi x = \sqrt{a}$ $\quad$ ou $\quad$ $x + \sqrt{a} = 0 \ssi x = -\sqrt{a}$
    Les solutions de l’équation $x^2=a$ sont donc bien $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  • La seule solution de $x^2 = 0$ est $0$.
  • Un carré est toujours positif.
    Or $a<0$. Par conséquent l’équation $x^2=a$ ne possède pas de solution.
    $\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • Les solutions de l’équation $x^2=7$ sont $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$
  • L’équation $x^2=-4$ ne possède pas de solution puisque $-4<0$.

 Propriété 6 : On considère un nombre réel $a$ strictement positif.

  • L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’inéquation $x^2\pp a$ est $\left[-\sqrt{a};\sqrt{a}\right]$.
  • L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’inéquation $x^2< a$ est $\left]-\sqrt{a};\sqrt{a}\right[$.

$\quad$

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 \le 4$.

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=4$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-2$ et $2$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés sous la droite : $[-2;2]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig5

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 > 9$

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=9$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-3$ et $3$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés strictement au-dessus de la droite : $]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig6

 Propriété 7 : On considère deux réels $a$ et $b$ et la fonction carré $f$.

  • Si $0\pp a < b$ alors $f(a)<f(b)$ (qui s’écrit également $a^2<b^2$);
  • Si $a < b\pp 0$ alors $f(a)>f(b)$ (qui s’écrit également $a^2>b^2$).
Preuve Propriété 7

On appelle $f$ la fonction carré.
On considère deux réels $a$ et $b$. Pour pouvoir comparer $f(a)$ et $f(b)$ nous allons étudier le signe de $f(a)-f(b)$.
Ainsi : $f(a)-f(b) =a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

  • Si $0\pp a < b$
    Puisque $a<b$ cela signifie que $a-b< 0$.
    Puisque $a$ et $b$ sont tous les deux positifs, on a alors $a+b >0$.
    Par conséquent $(a-b)(a+b) <0$ en tant que produit deux nombres de signes contraires.
    Donc $f(a)-f(b) < 0$ et $f(a)<f(b)$.
  • Si $a < b \pp 0$
    Puisque $a<b$ cela signifie que $a-b< 0$.
    Puisque $a$ et $b$ sont tous les deux négatifs, on a alors $a+b <0$.
    Par conséquent $(a-b)(a+b) >0$ en tant que produit deux nombres de même signe.
    Donc $f(a)-f(b) > 0$ et $f(a)>f(b)$.
    $\quad$

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$\quad$

Remarque : On reviendra sur cette propriété dans un autre chapitre quand on parlera des variations des fonctions.

$\quad$

IV La fonction cube

 Définition 7 : On appelle fonction cube la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{~}0\phantom{~}&\phantom{~}1\phantom{~}&\phantom{~}2\phantom{~}&\phantom{~}3\phantom{~} \\
\hline
f(x)&-27&-8&-1&0&1&8&27\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 8 : On appelle $f$ la fonction cube.
Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=-f(x)$. On dit alors que la fonction cube est impaire.
Graphiquement, cela signifie que l’origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.
Preuve Propriété 8

Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
$\quad$

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$\quad$

 Propriété 9 : Pour tout nombre réel $a$, l’équation $x^3=a$ possède une unique solution.

$\quad$

Remarque : Certains cubes d’entiers naturels sont à connaître, comme par exemple $2^3=8$, $3^3=27$ et $5^3=125$. Dans les autres cas, il faudra utiliser (hors programme) la touche $\sqrt[3]{~}$ de la calculatrice.

$\quad$

Voici un exemple de résolution d’inéquation à l’aide de la représentation graphique de la fonction cube.

Exemple : On veut résoudre l’inéquation $x^3 \pp 1,5^3$.

  1. On trace la courbe représentative de la fonction cube.
  2. On trace la droite d’équation $y=1,5^3$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $1,5$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la courbe situés sous la droite : $]-\infty;1,5]$.

$\quad$

 Propriété 10 : On considère deux réels $a$ et $b$. On a alors :$$a^3<b^3 \ssi a<b$$

$\quad$

Remarque : Cette propriété sera démontrée en exercice.

$\quad$

Propriété 11 (Positions relatives) : On considère un nombre réel $x$.

  • Si $0<x<1$ alors $0<x^3<x^2<x<1$;
  • Si $1<x$ alors $1<x<x^2<x^3$.

Preuve propriété 11

  • Si $0<x<1$
    On a $x^3-x^2=x^2(x-1)$. Or $x^2>0$ et, puisque $x<1$, on a $x-1<0$ par conséquent $x^3-x^2<0$ c’est-à-dire $x^3<x^2$.
    On a également $x^2-x=x(x-1)$. Or $x>0$ et $x-1<0$ par conséquent $x^2-x<0$ soit $x^2<x$.
    De plus $x^3>0$ en tant que produit de nombres positifs.
    Ainsi $0<x^3<x^2<x<1$.
  • Si $1<x$
    On a $x^3-x^2=x^2(x-1)$. Or $x^2>0$ et, puisque $x>1$, on a $x-1>0$ par conséquent $x^3-x^2>0$ c’est-à-dire $x^3>x^2$.
    On a également $x^2-x=x(x-1)$. Or $x>0$ et $x-1>0$ par conséquent $x^2-x>0$ soit $x^2>x$.
    Ainsi $1<x<x^2<x^3$.
    $\quad$

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$\quad$

V La fonction inverse

 Définition 8 : On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Remarque : La fonction inverse n’est pas définie en $0$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&-1&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\\
\hline
\end{array}$$

 Définition 9 : La courbe représentant la fonction inverse dans un repère $(O;I,J)$ est composée de deux branches d’hyperbole.

2nd - cours - fonctions de référence - fig4

 Propriété 12 : On appelle $f$ la fonction inverse.
Pour tout réel $x$ non nul, on a $f(-x)=-f(x).$ On dit alors que la fonction inverse est impaire.
Graphiquement, cela signifie que l’origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.

$\quad$

Remarque : La preuve sera faite en exercice.

 Propriété 13 : Pour tout réel $a$ non nul, l’équation $\dfrac{1}{x} = a$ possède une unique solution $\dfrac{1}{a}$.

$\quad$

Exemples :

  • La solution de l’équation $\dfrac{1}{x}=3$ est $\dfrac{1}{3}$.
  • La solution de l’équation $\dfrac{1}{x}=-0,2$ est $\dfrac{1}{-0,2}$ soit $-5$.

Voici deux exemples pour résoudre des inéquations à l’aide de la représentation graphique de la fonction inverse.

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} < 2$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $\dfrac{1}{2}$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés strictement sous la droite : $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig7.1

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=\dfrac{1}{4}$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés au-dessus de la droite : $]0;4]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig8

Attention : Soyez bien attentif aux bornes des intervalles en tenant compte du signe de l’inégalité et de l’ensemble de définition de la fonction utilisée.

 Propriété 14 : On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ de même signe. On a alors : $$a<b \ssi \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$$

$\quad$

VI La fonction racine carrée

Définition 10 : La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

$\quad$

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&~~0~~&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~ \\
\hline
\rule [-0.5cm]{0cm}{1.2cm}f(x)&0&1&\sqrt{2}&\sqrt{3}&2&\sqrt{5}\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 15 : Pour tout nombre réel $a$ positif, l’unique solution de l’équation $\sqrt{x}=a$ est $a^2$.

$\quad$

Exemple : La solution de l’équation $\sqrt{x}=6$ est $36$.

$\quad$

 Propriété 16 : Pour tout nombre réel $x$ on a $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{5^2}=5$ et $\sqrt{(-3)^2}=3$.

$\quad$

Voici un exemple de résolution d’inéquation à l’aide de la représentation graphique de la fonction racine carrée.

Exemple : On veut résoudre l’inéquation $\sqrt{x} \pp 2$.

  1. On trace la courbe représentative de la fonction racine carrée.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la courbe situés sous la droite : $[0;4]$.

 Propriété 17 : On considère deux nombres réels $a$ et $b$ positifs. On a alors : $$a<b \ssi \sqrt{a}<\sqrt{b}$$

$\quad$

Exemple : On a $9<10$ donc $\sqrt{9}<\sqrt{10}$ soit $3<\sqrt{10}$.

$\quad$

VII Un peu d’histoire

Leibnitz est le premier à employer le terme « fonction » au $17^{\text{ième}}$ siècle. Euler au $18^{\text{ième}}$ siècle utilise la notation $f(x)$ et Cauchy, au $19^{\text{ième}}$ siècle, pose les bases de l’analyse telle qu’on la connaît maintenant.

$\quad$