2nd – Cours – Fonctions de référence

Fonctions de référence

I La fonction carré

 Définition 1 : On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}0&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&9&4&1&0&1&4&9\\\\
\hline
\end{array}$$

Propriété 1 : La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
Preuve Propriété 1

On appelle $f$ la fonction carré.
Montrons tout d’abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$.

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v \le 0$. Nous allons étudier le signe de $f(u) – f(v)$.

$\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}$

Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs, $u+v <0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) >0$.
Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$.

La fonction $f$ est bien décroissante sur $]-\infty;0]$.

Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $0 \le u < v$ .

$\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}$

Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$.
Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$.

La fonction $f$ est bien croissante sur $]-\infty;0]$.

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On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

 Définition 2 : Dans un repère $(O;I,J)$ la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole de sommet $O$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig2

 

Remarque : La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

 Propriété 2 : Soit $a$ un réel.

  1. Si $a > 0$, l’équation $x^2 = a$ possède deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  2. Si $a= 0$, l’équation $x^2 = a$ possède une unique solution $0$.
  3. Si $a < 0$, l’équation $x^2 = a$ ne possède aucune solution réelle.

Preuve Propriété 2

  1. Puisque $a > 0$, on peut écrire :
    $\begin{align*} x^2 = a & \ssi x^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \\\\
    & \ssi x^2- \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\\\
    & \ssi \left(x- \sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x – \sqrt{a} = 0 \ssi x = \sqrt{a}$ $\quad$ ou $\quad$ $x + \sqrt{a} = 0 \ssi x = -\sqrt{a}$
    Les solutions de l’équation $x^2=a$ sont donc bien $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  2. La seule solution de $x^2 = 0$ est $0$.
  3. Un carré est toujours positif.
    Or $a<0$. Par conséquent l’équation $x^2=a$ ne possède pas de solution.

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II La fonction inverse

 Définition 3 : On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&-1&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 3 : La fonction inverse $f$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
Preuve Propriété 3

$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v<0$. Nous allons étudier le signe de $f(u) – f(v)$.
$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$

Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.

$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $0<u<v$.
$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$

Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux positifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.

[collapse]

 

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en $0$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig3

 Définition 4 : La courbe représentant la fonction inverse dans un repère $(O;I,J)$ est composée de deux branches d’hyperbole.

2nd - cours - fonctions de référence - fig4

Remarque : La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

 Propriété 4 : Pour tout réel $a$ non nul, l’équation $\dfrac{1}{x} = a$ possède une unique solution $\dfrac{1}{a}$.

III Résolution d’inéquations

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 \le 4$.

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=4$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-2$ et $2$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés sous la droite : $[-2;2]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig5

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 > 9$

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=9$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-3$ et $3$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés strictement au-dessus de la droite : $]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig6

Exemple 3 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} < 2$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $\dfrac{1}{2}$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés strictement sous la droite : $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig7.1

Exemple 4 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=\dfrac{1}{4}$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés au-dessus de la droite : $]0;4]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig8

 

Attention : Soyez bien attentif aux bornes des intervalles en tenant compte du signe de l’inégalité et de l’ensemble de définition de la fonction utilisée.

 

Les autres cours de 2nd sont ici.