Fonctions polynômes du second degré et fonctions homographiques

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I Fonctions polynôme du second degré

Définition 1 :On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a,b$ et $c$ sont des réels tels que $a\neq 0$.

Remarque : On parle également de fonction polynomiale du second degré ou de degré $2$.

Exemples :

$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-3x+5$ est une fonction polynôme du second degré. $a=2, b=-3$ et $c=5$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=x^2+2$ est une fonction polynôme du second degré. $a=1, b=0$ et $c=2$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=-x^2+5x$ est une fonction polynôme du second degré. $a=-1, b=5$ et $c=0$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x^3-3x^2+4x-1$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit en fait d’une fonction polynôme du troisième degré.
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x+2$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit d’un polynôme du premier degré (ou fonction affine).
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x-\dfrac{1}{x}$ n’est pas une fonction polynôme du second degré.

Définition 2 : On appelle forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, une expression algébrique de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Exemple :
$\begin{align*} 2(x-1)^2+3 &= 2\left(x^2-2x+1\right)+3\\
&=2x^2-4x+2+3 \\
&=2x^2-4x+5
\end{align*}$
Par conséquent $2(x-1)^2+3$ est la forme canonique de la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-4x+5$.

Propriété 1 : Toute fonction polynomiale du second degré possède une forme canonique.
Si, pour tous réels $x$, on a $P(x)=ax^2+bx+c$ alors $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta =P(\alpha)$.

Preuve Propriété 1

On a, pour tous réels $x$, $P(x)=ax^2+bx+c$.
Puisque $a\neq 0$, on peut donc écrire $P(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.

On constate que l’expression $x^2+\dfrac{b}{a}x$ est le début d’une identité remarquable.
En effet :

$$\begin{align*} \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2&=x^2+2\times x \times\dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}
\end{align*}$$

Par conséquent $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$

Donc
$$\begin{align*} P(x)&=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right) \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+c \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a} \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}$$

On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=- \dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

Ainsi $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

On constate que $P(\alpha)=a(\alpha-\alpha)^2+\beta=\beta$.

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Dans la pratique, en seconde, on demande de montrer que la forme canonique fournie est bien égale à une expression algébrique d’une fonction polynomiale du second degré donnée. La mise sous forme canonique sera vue l’année prochaine mais avoir compris son fonctionnement dès la seconde est un réel plus.

Conséquence : Une fonction polynôme de second degré possède donc :
– une forme développée : $P(x)=ax^2+bx+c$;
– une forme canonique : $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$;
Dans certains cas, elle possède également une forme factorisée : $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

II Variations d’une fonction polynôme du second degré

Propriété 2 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.

$\bullet$ Si $a>0$ alors la fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
$\bullet$ Si $a<0$ alors la fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Preuve Propriété 2

On a vu, qu’on pouvait écrire $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

On considère deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1<x_2$.

$$\begin{align*} P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) &=a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta-\left(a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta\right) \\
&=a\left(\left(x_1-\alpha\right)^2-\left(x_2-\alpha\right)^2\right) \\
&=a\left(x_1-\alpha-x_2+\alpha\right)\left(x_1-\alpha+x_2-\alpha\right) \\
&=a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2-2\alpha\right)
\end{align*}$$

On sait que $x_1<x_2$. Donc $x_1-x_2<0$.

On va considérer les deux intervalles suivants : $]-\infty;\alpha]$ et $[\alpha;+\infty[$.

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $x_1+x_2 \le \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \le 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \le 0$.

$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $x_1+x_2 \ge \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \ge 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \ge 0$.

Si $a>0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Si $a<0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

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$\quad$

On obtient ainsi ces tableaux de variations où $\beta = P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ :

Propriété 3 : La fonction $P$ atteint :
$\bullet$ un minimum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a>0$
$\bullet$ un maximum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a<0$

III Représentation graphique

Propriété 4 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction $P$ est une parabole et la droite d’équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ est un axe de symétrie.
Le point $S$ de coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ est appelé sommet de la parabole.

IV Et en pratique…

Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole
Si $P(x)=x^2+8x-2$ alors $a=1, b=8$ et $c=-2$
Alors $\alpha=-\dfrac{8}{2\times 1} = -4$ et $P(-4) = -18$
Le sommet de la parabole est donc le point $S(-4;-18)$.
Puisque $a=1>0$, cela correspond donc à un minimum.
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Déterminer l’expression algébrique quand on connaît deux points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses
Si la parabole coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses $-2$ et $4$ et passe par le point $A(2;4)$
La fonction polynomiale du second degré $P$ vérifie donc $P(-2)=P(4)=0$.
Par conséquent, pour tous réel $x$, $P(x)=a\left(x-(-2)\right)(x-4)$ soit $P(x)=a(x+2)(x-4)$.
On sait que $A(2;4)$ appartient à la parabole. Donc $P(2)=4$.
Or $P(2) = a(2+2)(2-4)=-8a$ donc $-8a=4$ et $a=-\dfrac{1}{2}$
Par conséquent $P(x)=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-4)$.
Si on développe :
$$\begin{align*} P(x)&=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-4) \\
&=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+2x-8\right) \\
&=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-2x-8\right) \\
&=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4
\end{align*}$$
$\quad$
Déterminer l’expression algébrique quand on connaît les coordonnées du sommet et un point de la parabole.
Si le sommet de parabole est $S(-1;3)$ et la parabole passe par le point $A(4;-2)$.
La fonction polynomiale du second degré $P$ vérifie donc que $P(4)=-2$ et $P(x)=a\left(x-(-1)\right)^2+3$ soit $P(x)=a(x+1)^2+3$.
Or $P(4)=a(4+1)^2+3 = 25a+3$
Ainsi $25a+3=-2$ d’où $25a=-5$ et $a=-\dfrac{5}{25}=-\dfrac{1}{5}$.
Par conséquent $P(x)=-\dfrac{1}{5}(x+1)^2+3$
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Déterminer l’abscisse du sommet quand on connaît deux points de la parabole qui possèdent la même ordonnée.
On considère une parabole passant par les points $A(1;4)$ et $B(5;4)$.
Puisque les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée, cela signifie donc qu’ils sont symétrique par rapport à l’axe de symétrie de la parabole. Ils sont situés à la même distance de cet axe auquel appartient le sommet $S$.
Ainsi l’abscisse de $S$ est $x_S=\dfrac{1+5}{2}=3$.

V Fonctions homographiques

Définition 3 :Une fonction $f$ est dite homographique si, et seulement si, il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ (différent de $0$) et $d$ tels que $ad-bc \neq 0$ et $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ pour tout $x \neq -\dfrac{d}{c}$.

Exemples :

La fonction $f$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ est une fonction homographique.
$a=2$, $b=1$, $c=1$ et $d=-1$ donc $ad-bc=2\times 1-1\times (-1)=2+1=3\neq 0$.
On considère la fonction $g$ définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $g(x)=2-\dfrac{x}{2x+4}$.
On a alors $g(x)=\dfrac{2(2x+4)-x}{2x+4}=\dfrac{4x+8-x}{2x+4}=\dfrac{3x+8}{2x+4}$
$3\times 4-8\times 2 = 12-16=-4\neq 0$.
Donc $g$ est une fonction homographique.

Remarque : Une fonction homographique est représentée graphiquement par deux branches d’hyperbole.

Voici la représentation graphique de la fonction homographique $f$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$