Géométrie dans le plan

I Dans un triangle rectangle

Définition 1 : La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite constituée des points $M$ équidistants (à la même distance) des extrémités du segment.

Propriété 1 : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.

$\quad$

Propriété 2 : Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Propriété 3 : Si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle et que le côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle en $C$.

Définition 2 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on définit :

$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\quad$
$\sin \widehat{ABC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\quad$
$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
$\quad$

Propriété 4 : Pour tout angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle on a $\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1$.

Remarque : $\cos^2 \alpha$ et $\sin^2 \alpha$ signifient respectivement $\left(\cos \alpha\right)^2$ et $\left(\sin \alpha\right)^2$.

$\quad$

Exemple : On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $\sin \widehat{ABC}=0,6$. On souhaite déterminer la valeur de $\cos \widehat{ABC}$.

On a :
$\begin{align*} \cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 &\ssi \cos^2 \widehat{ABC}+0,6^2=1\\ &\ssi \cos^2\widehat{ABC}+0,36=1\\ &\ssi \cos^2\widehat{ABC}=0,64\end{align*}$
Cela signifie donc que $\cos \alpha=-\sqrt{0,64}$ ou $\cos \alpha=\sqrt{0,64}$.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est un quotient de longueur; il est donc positif.
Par conséquent $\cos \widehat{ABC}=\sqrt{0,64}=0,8$.

$\quad$

Preuve Propriété 4

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on note $\alpha=\widehat{ABC}$ (la démonstration fonctionne de la même façon si on note $\alpha=\widehat{ACB}$).

On a alors $\cos \alpha=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin \alpha=\dfrac{AC}{BC}$.

Par conséquent :
$\begin{align*}
\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha&= \left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2 \\
&=\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2} \\
&=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}
\end{align*}$
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, le théorème de Pythagore nous fournit alors la relation $AB^2+AC^2=BC^2$.
Ainsi $\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha =\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1$
$\quad$

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$\quad$

II Projeté orthogonal

Définition 3 : On considère une droite $\Delta$ et un point $M$ du plan.

Si le point $M$ n’appartient pas à la droite $\Delta$, le point d’intersection $M’$ de la droite $\Delta$ avec sa perpendiculaire passant par $M$ est appelé le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$;
Si le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ alors $M$ est son propre projeté orthogonal sur $\Delta$.

Propriété 5: Le projeté orthogonal du point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$.

$\quad$

Preuve propriété 5

On appelle $M’$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $\Delta$.
Nous allons raisonner par disjonction de cas :

Si le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ alors la distance entre les points $M$ et $M’$ est $MM’=0$.
Pour tout point $P$ de la droite $\Delta$ différent de $M$ on a alors $MP>0$.
Ainsi $MP>MM’$.
$\quad$
Si le point $M$ n’appartient pas à la droite $\Delta$. On considère un point $P$ de la droite $\Delta$ différent de $M’$.Dans le triangle $MM’P$ rectangle en $M’$ on applique le théorème de Pythagore.
Ainsi $MP^2=MM’^2+M’P^2$.
Les points $M’$ et $P$ sont distincts. Donc $M’P>0$.
Par conséquent $MP^2>MM’^2$.
Les deux longueurs sont positives. On en déduit donc que $MP>MM’$.

Dans les deux cas, le point $M’$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$.

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$\quad$

Définition 4 : On considère une droite $\Delta$, un point $M$ du plan et son projeté orthogonal $M’$ sur la droite $\Delta$.
La distance $MM’$ est appelé distance du point $M$ à la droite $\Delta$.

Définition 5 : Dans un triangle $ABC$ la hauteur issue du point $A$ est la droite passant par le point $A$ et son projeté orthogonal $A’$ sur la droite $(BC)$.

$\quad$

III Dans un repère du plan

1. Définitions

Définition 6 :

Pour définir un repère d’un plan, il suffit de fournir trois points non alignés $O$, $I$ et $J$. On note alors ce repère $(O;I,J)$. L’ordre dans lequel les points sont écrits est important.
Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, le repère $(O;I,J)$ est dit orthogonal.
Si le repère $(O;I,J)$ est orthogonal et que $OI = OJ$ alors le repère est dit orthonormé.

Définition 7 : On considère le repère $(O;I,J)$.

Le point $O$ est appelé l’origine du repère.
La droite $(OI)$ est appelé l’axe des abscisses. La longueur $OI$ est la longueur unité de cet axe.
La droite $(OJ)$ est appelé l’axe des ordonnées. La longueur $OJ$ est la longueur unité de cet axe.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1

Repère orthonormé

$\quad$

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1bis

Repère orthogonal

Remarque 1 : Puisque la longueur $OI$ est la longueur unité de l’axe des abscisses, cela signifie donc que $OI = 1$. C’est évidemment valable pour les autres axes.

Remarque 2 : Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd.

Définition 8 : Soit $M$ un point du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On construit le parallélogramme $OM_xMM_y$ tel que :

$M_x \in (OI)$
$M_y \in (OJ)$

On note alors $x_M = OM_x$ et $y_M = OM_y$.
Le couple $\left(x_M,y_M\right)$ est appelé coordonnées du point $M$.

$x_M$ est l’abscisse du point $M$ et $y_M$ est l’ordonnée du point $M$. Le couple ainsi défini est unique.

Exemple :

Les coordonnées de :

$A$ sont $(4;2)$ et on note $A(4;2)$
$B$ sont $(-2;1)$ et on note $B(-2;1)$
$C$ sont $(1;-2)$ et on note $C(1;-2)$
$D$ sont $(-1;-3)$ et on note $D(-1;-3)$

Remarque 1 : La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l’axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l’axe des ordonnées.
Ainsi l’abscisse de $A$ est $4$ et son ordonnée est $2$.

Remarque 2 : On a ainsi $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$

Propriété 6 : On considère deux points $A$ et $B$ d’un plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Ces deux points sont confondus si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

$\quad$

2. Milieu d’un segment

Propriété 7 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.

Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

Exemple 1 : Dans le repère $(O;I,J)$ on considère $A(4;-1)$ et $B(1;2)$. Ainsi les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont :
$\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

Exemple 2 : On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de $A$ connaissant celles de $M$ et de $B$.

On considère les points $B(2;-1)$ et $M(1;3)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Soit $A\left(x_A,y_A\right)$ le point du plan tel que $M$ soit le milieu de $[AB]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeurs : $\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}$

On résout maintenant chacune des deux équations. Pour cela on multiplie chacun des membres par $2$.
$\begin{cases} 2 = x_A + 2 \\\\ 6 = y_A – 1 \end{cases}$

Par conséquent $x_A = 0$ et $y_A = 7$.
Ainsi $A(0;7)$.

On vérifie sur un repère que les valeurs trouvées sont les bonnes.

Remarque 1 : Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés.

Remarque 2 : Cette propriété sera très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme connaissant celles des trois autres.

Fiche méthode 1 : Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Fiche méthode 2 : Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

$\quad$

3. Longueur d’un segment

Propriété 8 : Dans un plan munit d’un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère les points $A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$.
La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$.

Exemple : Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$.
On a ainsi :
$$\begin{align*} AB^2 &= \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\
&= (-2)^2 + 4^2 \\
&= 4 + 16 \\
&= 20 \\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$

Remarque 1 : Il est plus “pratique”, du fait de l’utilisation de la racine carrée, de calculer tout d’abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.

Remarque 2 : Cette propriété n’est valable que dans un repère orthonormé.

Fiche méthode 3 : Déterminer la nature d’un triangle

$\quad$

IV Un peu d’histoire

Les coordonnées utilisées dans ce chapitre sont appelées des coordonnées cartésiennes. Le mot « cartésien » vient du mathématicien français René Descartes (1596 – 1650). Les grecs sont considérés comme les fondateurs de la géométrie et sont à l’origine de nombreuses découvertes dans ce domaine. La géométrie intervient de nos jours dans de nombreux aspects de la vie quotidienne comme par exemple l’utilisation des GPS ou la fabrication des verres correcteurs pour la vue.

$\quad$