2nd – Cours – Identités remarquables

Identités remarquables

I Rappels

1. Développer et réduire

 Définition 1 :

  • Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes “semblables” (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :

$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

  • La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
  • La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 2 : Factoriser une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

  • $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
  • $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
  • $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-x+5)$

$\quad$

$\quad$

II Identités remarquables

 Propriété 1 :

On considère deux nombres quelconques $a$ et $b$.

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$\quad$

Remarque : Cette propriété s’utilise aussi bien pour développer une expression que pour la factoriser.

Preuve Propriété 1
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^2&=(a+b)(a+b) \\
    &=a^2+ab+ba+b^2\\
    &=a^2+2ab+b^2
    \end{align*}$
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a-b)^2&=(a-b)(a-b) \\
    &=a^2-ab-ba-b\times (-b)\\
    &=a^2-2ab+b^2
    \end{align*}$
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a-b)(a+b)&=a^2+ab-ba-b^2 \\
    &=a^2-b^2
    \end{align*}$

    [collapse]

$\quad$

Exemples (développement)

  • On veut développer $(3x+5)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=5$
    $\begin{align*} (3x+5)^2&=(3x)^2+2\times 3x\times 5+5^2 \\
    &=9x^2+30x+25
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut développer $(4x-6)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=4x$ et $b=6$
    $\begin{align*} (4x-6)^2&=(4x)^2-2\times 4x\times 6+6^2 \\
    &=16x^2-48x+36
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut développer $(2x-5)(2x+5)$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=2x$ et $b=5$
    $\begin{align*} (2x-5)(2x+5)&=(2x)^2-5^2 \\
    &=4x^2-25
    \end{align*}$

$\quad$

Exemples (factorisation)

  • On veut factoriser $25x^2+30x+9=(5x)^2+2\times 5x\times 3+3^2$
    Dans la pratique, on cherche si $25x^2$ et $9$ sont des carrés de nombres et on regarde ensuite si le terme en $x$ peut s’écrire sous la forme $2ab$.
    On va utiliser la propriété $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=5x$ et $b=3$
    Donc $25x^2+30x+9=(5x+3)^2$.
    $\quad$
  • On veut factoriser $36x^2-48x+16=(6x)^2-2\times 6x\times 4+4^2$
    Dans la pratique, on cherche si $36x^2$ et $16$ sont des carrés de nombres et on regarde ensuite si le terme en $x$ peut s’écrire sous la forme $2ab$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=6x$ et $b=4$
    Donc $36x^2-48x+16=(6x-4)^2$.
    $\quad$
  • On veut factoriser $9x^2-4=(3x)^2-2^2$
    On va utiliser la propriété $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$
    $9x^2-4=(3x-2)(3x+2)$

$\quad$

Exemples (factorisation avancée)

  • On veut factoriser $16-(2x+5)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=16$ et $b=2x+5$
    $\begin{align*}
    16-(2x+5)^2&=4^2-(2x+5)^2 \\
    &=\big[4-(2x+5)\big]\big[4+(2x+5)\big] \\
    &=(4-2x-5)(4+2x+5)\\
    &=(-2x-1)(2x+9)
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut factoriser $(4x-3)^2-(5x+1)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=4x-3$ et $b=5x+1$
    $\begin{align*}
    (4x-3)^2-(5x+1)^2&=\big[(4x-3)-(5x+1)\big]\big[(4x-3)+(5x+1)\big] \\
    &=(4x-3-5x-1)(4x-3+5x+1)\\
    &=(-x-4)(9x-2)
    \end{align*}$

$\quad$

III Équations produit nul

Définition 3 : On appelle équation produit nul toute équation dont un membre un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

  • $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
  • $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
  • $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.