2nd – Cours – Informations chiffrées

Informations chiffrées

I Proportion et pourcentage

Définition 1 : On considère une partie $A$, possédant $n_A$ éléments, d’un ensemble $E$, possédant $n_E$ éléments.
On appelle proportion des éléments de $A$ par rapport aux éléments de $E$ le quotient $p=\dfrac{n_A}{n_E}$.

$\quad$

Remarque : On a $0\pp p \pp 1$. Le nombre $p$ ne possède pas d’unité.

Exemple : Parmi les $900$ élèves d’un lycée $360$ sont en seconde. La proportion des élèves de seconde dans ce lycée est $p=\dfrac{360}{900}=0,4$.
On peut exprimer ce nombre à l’aide de pourcentage. On obtient alors $p=40\%$.

$\quad$

Propriété 1 : On considère une partie $A$, possédant $n_A$ éléments, d’un ensemble $E$, possédant $n_E$ éléments.
Si la proportion des éléments de $A$ par rapport aux éléments de $E$ représente $x\%$ cela signifie que $n_A=\dfrac{x}{100} \times n_E$.

$\quad$

Exemple : $70\%$ des élèves d’un lycée comptant $900$ élèves sont demi-pensionnaires.
Le nombre d’élèves demi-pensionnaires est donc $n=\dfrac{70}{100}\times 900=630$.

$\quad$

II Proportion de proportion

Propriété 2(Proportion de proportion) : On considère un ensemble $E$, une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ de $A$.
On appelle $p_A$ la proportion des éléments de $A$ dans $E$ et $p_B$ la proportion des éléments de $B$ dans $A$.
La proportion des éléments de $B$ dans $E$ est alors $p=p_A\times p_B$.

Exemple : Dans un lycée, la proportion des élèves en seconde est de $0,4$ et la proportion de filles parmi ces élèves de seconde est de $0,55$.
Dans le lycée, la proportion des filles étudiant en classe de seconde est égale à $0,4\times 0,55=0,22$.

$\quad$

Propriété 3 (Pourcentage de pourcentage) : On considère un ensemble $E$, une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ de $A$.
On appelle $t_A \%$ le pourcentage des éléments de $A$ dans $E$ et $t_B \%$ le pourcentage des éléments de $B$ dans $A$.
Le pourcentage des éléments de $B$ dans $E$ est alors égal à $\dfrac{t_A}{100}\times \dfrac{t_B}{100}$.

$\quad$

Exemple : Dans une librairie, $40\%$ des livres sont des romans et $5\%$ de ces romans sont en anglais.
$\dfrac{40}{100}\times \dfrac{5}{100}=0,02=2\%$
Dans cette librairie $2\%$ des livres sont des romans en anglais.
$\quad$

$\quad$

III Taux d’évolution

Définition 2 : On suppose qu’une quantité passe d’une valeur de départ $V_d$ à une valeur finale $V_f$.
On appelle variation absolue le nombre $V_f-V_d$.
Le nombre $t=\dfrac{V_f-V_d}{V_d}$ est appelé le taux d’évolution ou variation relative.

$\quad$

Exemple : Le prix d’un article est passé de $25$€ à $30$€.
La variation absolue du prix est $30-25=5$€.
Le taux d’évolution est $t=\dfrac{30-25}{25}=\dfrac{5}{25}=0,2=20\%$.
Le prix de l’article a donc augmenté de $5$€ ce qui représente une augmentation de $20\%$.

$\quad$

Définition 3 : On suppose qu’une quantité passe d’une valeur de départ $V_d$ à une valeur finale $V_f$.
On appelle coefficient multiplicateur lié à l’évolution le nombre $C=\dfrac{V_f}{V_d}$.

$\quad$

Exemple : Le prix d’un article est passé de $25$€ à $30$€.
Le coefficient multiplicateur est $C=\dfrac{30}{25}=1,2$.

$\quad$

Propriété 4 : On suppose qu’une quantité passe d’une valeur de départ $V_d$ à une valeur finale $V_f$.
On appelle $C$ son coefficient multiplicateur et $t$ son taux d’évolution. On a alors $C=1+t$.

$\quad$

Exemple : Dans l’exemple précédent on avait $C=1,2$ et $t=0,2$. On a bien $C=1+t$.

$\quad$

Propriété 5 : Augmenter une quantité de $x\%$ revient à la multiplier par $\left(1+\dfrac{x}{100}\right)$.
Diminuer une quantité de $x\%$ revient à la multiplier par $\left(1-\dfrac{x}{100}\right)$.

$\quad$

Exemples :

  • Un article coûte $50$€. Son prix augmente de $10\%$.
    Le nouveau prix est alors $50\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=50\times 1,1=55$ €.
  • Un article coûte $55$€. Son prix baisse de $10\%$.
    Le nouveau prix est alors $55\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)=55\times 0,9=49,5$ €

$\quad$

Remarque : On constate qu’une augmentation suivie d’une diminution d’un même pourcentage ne ramène pas à la situation initiale.

$\quad$

IV Évolutions successives

Propriété 6 : Lorsqu’une quantité subit deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs respectifs $C_1$ et $C_2$ alors le coefficient multiplicateur global est $C=C_1\times C_2$.

Remarque : On peut avoir deux augmentations successives, deux diminutions successives, une augmentation suivie d’une diminution ou une diminution suivie d’une augmentation. Cette propriété englobe tous les cas de figures et se généralise pour autant d’évolutions qu’on souhaite utiliser.

On utilisera souvent la propriété suivante avec les taux d’évolution.

Propriété 7 : Lorsqu’une quantité subit deux évolutions successives dont les taux d’évolution sont respectivement $t_1$ et $t_2$ alors le taux d’évolution global $t$ vérifie $1+t=\left(1+t_1\right)\times \left(1+t_2\right)$.

Remarque : À noter dans cette formule que les taux d’évolutions sont ici algébriques, c’est-à-dire qu’ils peuvent aussi bien être positifs, dans le cas d’une augmentation, que négatifs, dans le cas d’une diminution.

Exemples :

  • La population d’une ville a augmenté de $2\%$ entre 2016 et 2017 puis a augmenté de $1\%$ entre 2017 et 2018.
    On appelle $t$ le taux d’évolution global.
    On a donc $1+t=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1}{100}\right)=\np{1,0302}$
    Ainsi $t=0,030~2$ soit $t=3,02\%$.
    Cela signifie donc que la population de la ville a augmenté de $3,02\%$ entre 2016 et 2018.
    $\quad$
  • Le prix d’un article au augmenté de $5\%$ puis a baissé de $3\%$.
    On appelle $t$ le taux d’évolution global.
    On a donc $1+t=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{3}{100}\right)=\np{1,0185}$
    Ainsi $t=0,018~5$ soit $t=1,85\%$.
    Au global le prix de l’article a augmenté de $1,85\%$.

Dans le cas d’évolutions successives, on n’additionne donc pas les taux d’évolution entre eux.

$\quad$

V Évolution réciproque

Définition 4 : Deux évolutions de coefficients multiplicateurs respectifs $C_1$ et $C_2$ sont dites réciproques lorsque $C_1\times C_2=1$.

$\quad$

Remarque : À l’issue des $2$ évolutions successives la quantité a donc retrouvé sa valeur de départ.

Exemple : Le prix d’un article a augmenté de $25\%$.
Quel pourcentage de baisse doit-on appliquer pour que l’article retrouve son prix initial?
On appelle $x$ le pourcentage cherché.
On a donc :
$\begin{align*}\left(1+\dfrac{25}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,25 \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,25} \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,8 \\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=-0,2 \\
&\ssi x=20
\end{align*}$
Pour compenser une augmentation de $25\%$ il faut donc réaliser une diminution de $20\%$.

$\quad$

Remarque : Puisque $C1\times C_2 = 1$ cela signifie donc que $C_2=\dfrac{1}{C_1}$. Ainsi, si on multiplie la quantité $Q$ par le coefficient multiplicateur $C1$ pour obtenir la quantité $Q_1$. Il suffit de diviser cette dernière par $C_1$ pour obtenir de nouveau la quantité intitiale.

$\quad$