2nd – Cours – Les vecteurs (1/2)

Les vecteurs (1/2)

I Translation et vecteurs

Défintion 1 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
On appelle translation de $A$ en $B$ la transformation qui à tout point $C$ du plan associe le point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
On dit alors qu’il s’agit de la translation de vecteur $\vec{AB}$.

Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vec{AB}$ ou de celle de vecteur $\vec{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig1

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig2

Remarque : Le vecteur $\vec{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

  1. Le support : la droite $(AB)$
  2. Le sens : de $A$ vers $B$
  3. La longueur : $AB$
 Propriété 1 : Si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Preuve Propriété 1

De part la définition de la translation de vecteur $\vec{AB}$,  les diagonales du quadrilatère $ABDC$ se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme.

[collapse]
 Définition 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
On dit que $\vec{AB} = \vec{CD}$ si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig3

Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig4

Vous pouvez bouger les différents points.

 Propriété 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
$\vec{AB} = \vec{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme.
Preuve Propriété 2

  • Si $\vec{AB} = \vec{CD}$.
    La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    D’après la définition de la translation, $[AD]$ et $[BC]$ ont alors le même milieu.
    Le quadrilatère $ABDC$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  • Réciproquement, si $ABDC$ est un parallélogramme.
    Les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu.
    Par conséquent la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    Donc $\vec{AB} = \vec{CD}$.

[collapse]

 

Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

 Propriété 3 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vec{AI} = \vec{IB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig5.1

 Définition 3 : La translation qui transforme tout point $M$ du plan en lui même est appelée translation de vecteur nul, noté $\vec{0}$.
 Propriété 4 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
$\vec{AB} = \vec{0}$ si, et seulement si, $A = B$.

Remarque : On a ainsi $\vec{AA} = \vec{BB} = \vec{CC} = \ldots = \vec{0}$

 Définition 4 : On appelle vecteur opposé au vecteur $\vec{AB}$ le vecteur associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. On le note $-\vec{AB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig6

Remarque : On a donc $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
Le vecteur $-\vec{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vec{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

II Somme de vecteurs

 Définition 4 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, comme le vecteur associé à la translation correspondant à la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig7.1

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

 Définition 5 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}-\vec{v}$, comme le vecteur associée à la translation correspondant à la translation de vecteurs $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $-\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig8

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

Propriété 5 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$.
Preuve Propriété 5

$I$ est le milieu de $[AB]$
$\quad$ si, et seulement si, $\vec{AI} = \vec{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $-\vec{IA} = \vec{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$

[collapse]

2nd - cours - vecteurs1 - fig9

 

 Propriété 6 : (Relation de Chasles) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$
Preuve Propriété 6

$B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$.
$C$ est l’image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.
Par conséquent $C$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{AB}+\vec{BC}$.
Par conséquent $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

[collapse]

2nd - cours - vecteurs1 - fig10.1

 Propriété 7 : (règle du parallélogramme) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
On appelle $D$ le point tel que $\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{AC}$.
Alors $ABDC$ est un parallélogramme.

2nd - cours - vecteurs1 - fig11

 

 

Les autres cours de 2nd sont ici.