Les vecteurs

I Translation et vecteurs

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Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vect{AB}$ ou de celle de vecteur $\vect{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$

Remarque : Le vecteur $\vect{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

1. Le support : la droite $(AB)$
2. Le sens : de $A$ vers $B$
3. La longueur : $AB$

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Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

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Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

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Remarque : On a ainsi $\vect{AA} = \vect{BB} = \vect{CC} = \ldots = \vec{0}$

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Remarque : On a donc $\vect{BA} = -\vect{AB}$.
Le vecteur $-\vect{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vect{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

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II Somme de vecteurs

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Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

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Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

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III Coordonnées d’un vecteur

À partir de maintenant on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

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Remarques :

• Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
• Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
• On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.

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Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

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Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.
Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.
Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$
D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$
Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$
Ainsi on obtient $D(6;-3)$

On vérifie les calculs avec le graphique.

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Exemple : On considère le vecteur $\vec{u}(2;-3)$ alors $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$.

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Remarque : Si on considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$
alors $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$ et $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
On retrouve donc la formule vue dans un chapitre précédent : $AB=\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.

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Exemple : Si $A(4;-1)$ et $B(6;-2)$ alors
$\begin{align*}\left\|\vect{AB}\right\|&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
&=\sqrt{(6-4)^2+\left(-2-(-1)\right)^2}\\
&=\sqrt{2^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{4+1}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$

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IV Somme de deux vecteurs

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Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

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V Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

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Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$,  $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

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VI Colinéarité

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Remarques : 

• Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
• Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

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Exemple : On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$.
On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.

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$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$.

Exemple : On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
$\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires.

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Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.
D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.
Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

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Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$
D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.
Mais det$\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

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Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$
D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AM}(-2,5;1)$
Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
$M$ est bien le milieu de $[AB]$.

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VII Un peu d’histoire

C’est au 19$\ieme$ siècle que la notion de vecteurs a été formalisée. Plusieurs mathématiciens, comme Bernard Bolzano, Michel Chasles et August Ferdinand Möbius, ont travaillé sur ce thème. La définition,
encore utilisée aujourd’hui, des vecteurs est due à Giusto Bellavitis. William Rowan Hamilton a œuvré à développer le calcul vectoriel pendant plus de dix ans.
Les vecteurs sont très utilisés en physique, en particulier dans l’étude des mouvements.