2nd – Cours – Les vecteurs

Les vecteurs

I Translation et vecteurs

Défintion 1 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
On appelle translation de $A$ en $B$ la transformation qui à tout point $C$ du plan associe le point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
On dit alors qu’il s’agit de la translation de vecteur $\vect{AB}$.

$\quad$

Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vect{AB}$ ou de celle de vecteur $\vect{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig1

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig2

Remarque : Le vecteur $\vect{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

  1. Le support : la droite $(AB)$
  2. Le sens : de $A$ vers $B$
  3. La longueur : $AB$
 Propriété 1 : Si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\vect{AB}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.

$\quad$

Preuve Propriété 1

De part la définition de la translation de vecteur $\vect{AB}$,  les diagonales du quadrilatère $ABDC$ se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme.

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$\quad$

 Définition 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
On dit que $\vect{AB} = \vect{CD}$ si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.

$\quad$

2nd - cours - vecteurs1 - fig3

Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig4

Vous pouvez bouger les différents points.

 Propriété 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
$\vect{AB} = \vect{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme.
Preuve Propriété 2

  • Si $\vect{AB} = \vect{CD}$.
    La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    D’après la définition de la translation, $[AD]$ et $[BC]$ ont alors le même milieu.
    Le quadrilatère $ABDC$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  • Réciproquement, si $ABDC$ est un parallélogramme.
    Les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu.
    Par conséquent la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    Donc $\vect{AB} = \vect{CD}$.

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$\quad$

Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

$\quad$

 Propriété 3 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vect{AI} = \vect{IB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig5.1

$\quad$

 Définition 3 : La translation qui transforme tout point $M$ du plan en lui même est appelée translation de vecteur nul, noté $\vec{0}$.

$\quad$

 Propriété 4 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
$\vect{AB} = \vec{0}$ si, et seulement si, $A = B$.

$\quad$

Remarque : On a ainsi $\vect{AA} = \vect{BB} = \vect{CC} = \ldots = \vec{0}$

$\quad$

 Définition 4 : On appelle vecteur opposé au vecteur $\vect{AB}$ le vecteur associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. On le note $-\vect{AB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig6

$\quad$

Remarque : On a donc $\vect{BA} = -\vect{AB}$.
Le vecteur $-\vect{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vect{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

$\quad$

$\quad$

II Somme de vecteurs

 Définition 4 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, comme le vecteur associé à la translation correspondant à la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig7.1

$\quad$

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

$\quad$

 Définition 5 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}-\vec{v}$, comme le vecteur associée à la translation correspondant à la translation de vecteurs $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $-\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig8$\quad$

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

$\quad$

Propriété 5 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vect{IA}+\vect{IB}=\vec{0}$.

$\quad$

Preuve Propriété 5

$I$ est le milieu de $[AB]$
$\quad$ si, et seulement si, $\vect{AI} = \vect{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $-\vect{IA} = \vect{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec{0}$

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$\quad$

2nd - cours - vecteurs1 - fig9

 

 Propriété 6 : (Relation de Chasles) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
$$\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$$

$\quad$

Preuve Propriété 6

$B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{AB}$.
$C$ est l’image de $B$ par la translation de vecteur $\vect{BC}$.
Par conséquent $C$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{AB}+\vect{BC}$.
Par conséquent $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

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$\quad$

2nd - cours - vecteurs1 - fig10.1

$\quad$

 Propriété 7 : (règle du parallélogramme) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
On appelle $D$ le point tel que $\vect{AD} = \vect{AB}+\vect{AC}$.
Alors $ABDC$ est un parallélogramme.

2nd - cours - vecteurs1 - fig11

 

$\quad$

III Coordonnées d’un vecteur

À partir de maintenant on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

On considère un vecteur $\vec{u}$ du plan. Il existe alors un unique point $M\left(x_M;y_m\right)$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$.

Définition 7 : Les coordonnées du vecteurs $\vec{u}$ sont celles du point $M$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig1 (1)

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

$\quad$

Remarques :

  • Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
  • Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
  • On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.

$\quad$

Propriété 8 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.
Ainsi si on considère les vecteurs  $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ alors $\vec{u}=\vec{v} \ssi \begin{cases} x=x’\\y=y’\end{cases}$

$\quad$

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

$\quad$

Propriété 9 : On considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan. Alors les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

$\quad$

Preuve de la propriété 2

Il existe un unique point $M\left(x_M;y_M\right)$ du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig2 (3)

Par conséquent $OMBA$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu $N$.
$N$ est le milieu de $[OB]$ donc : $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_B+x_O}{2}=\dfrac{x_B}{2}\\\\y_N=\dfrac{y_B+y_O}{2}=\dfrac{y_B}{2} \end{cases}$.
$N$ est aussi le milieu de $[AM]$ donc $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_M}{2}\end{cases}$.
Donc $\begin{cases} \dfrac{x_B}{2} = \dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\ \dfrac{y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_M}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=x_A+x_M\\\\ y_B=y_A+y_M \end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=x_B-x_A\\\\ y_M=y_B-y_A \end{cases}$
D’après la définition les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont celles du point $M$.
Donc $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig3

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.
Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.
Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig4

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$
D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$
Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$
Ainsi on obtient $D(6;-3)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig5

On vérifie les calculs avec le graphique.

$\quad$

Définition 8 (Norme d’un vecteur) : On considère un vecteur $\vec{u}(x;y)$.
On appelle norme du vecteur $\vec{u}$ le nombre $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

$\quad$

Exemple : On considère le vecteur $\vec{u}(2;-3)$ alors $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$.

$\quad$

Remarque : Si on considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$
alors $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$ et $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
On retrouve donc la formule vue dans un chapitre précédent : $AB=\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.

$\quad$

Exemple : Si $A(4;-1)$ et $B(6;-2)$ alors
$\begin{align*}\left\|\vect{AB}\right\|&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
&=\sqrt{(6-4)^2+\left(-2-(-1)\right)^2}\\
&=\sqrt{2^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{4+1}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$

$\quad$

IV Somme de deux vecteurs

Propriété 10 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$. Alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’)$.

$\quad$

Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

2nd-cours-vecteurs2-2-fig6

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

$\quad$

V Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

Propriété 11 : On considère un réel $k$ et un vecteur $\vec{u}(x;y)$ alors le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur dont les coordonnées sont $(kx;ky)$.

$\quad$

Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$,  $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig7

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

Propriété 12 : On considère $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur.

  • Si $k>0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de même sens;
  • Si $k<0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de sens contraire.

Propriété 13 : On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les réels $k$ et $k’$.

  • $(k+k’)\vec{u}=k\vec{u}+k’\vec{u}$
  • $k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=k\vec{u}+k\vec{v}$
  • $k\left(k’\vec{u}\right)=(kk’)\vec{u}$

$\quad$

VI Colinéarité

Définition  9 : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

$\quad$

Remarques : 

  • Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
  • Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

$\quad$

Propriété 14 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.

  1. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\begin{cases} x’=kx \\\\y’=ky \end{cases}$.
  2. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy’-x’y=0$.

$\quad$

Exemple : On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$.
On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.

$\quad$

Définition 10 (Déterminant) : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.
On appelle déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre $\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=xy’-yx’$.

$\quad$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$.

Exemple : On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
$\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires.

$\quad$

Propriété 15 : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.
D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.
Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

$\quad$

Propriété 16 : (application) Trois points $A$, $B$, et $C$, sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

$\quad$

Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$
D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.
Mais det$\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

$\quad$

Propriété 17 : (milieu) On considère trois points $A$, $B$ et $M$.
$M$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$
D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2,5;1)$
Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
$M$ est bien le milieu de $[AB]$.

$\quad$

VII Un peu d’histoire

C’est au 19$\ieme$ siècle que la notion de vecteurs a été formalisée. Plusieurs mathématiciens, comme Bernard Bolzano, Michel Chasles et August Ferdinand Möbius, ont travaillé sur ce thème. La définition,
encore utilisée aujourd’hui, des vecteurs est due à Giusto Bellavitis. William Rowan Hamilton a œuvré à développer le calcul vectoriel pendant plus de dix ans.
Les vecteurs sont très utilisés en physique, en particulier dans l’étude des mouvements.