2nd – Cours – Probabilités

Probabilités

I Définitions

 Définition 1 : On dit qu’une expérience est aléatoire lorsqu’il est impossible de prédire à l’avance le résultat. Il y a donc plusieurs issues possibles.

Exemple : lancer un dé équilibré, tirer une carte au hasard d’un jeu,… sont des expériences aléatoire.

 Définition 2 : On appelle issue ou éventualité le résultat d’une expérience.

Exemple : “Pile” et “Face” sont les deux issues possibles dans un lancé de pièce.

Remarque : En classe de seconde, on ne s’intéressera qu’aux expériences aléatoires ayant un nombre fini d’issues.

 Définition 3 : L’univers est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Il est souvent noté $\Omega$, qui se lit “omega”.

Exemples :

  • Dans une lancé de pièce : $\Omega = \lbrace \text{Pile},\text{Face}\rbrace$.
  • Dans un lancé de dé à $6$ faces : $\Omega = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$.

 Définition 4 :

  • On appelle événement tout ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
  • Un événement qui ne contient qu’une seule issue est appelé événement élémentaire.
  • Un événement qui ne peut se produire est un événement impossible.
  • Un événement qui est toujours réalisé est appelé événement certain.

Exemples : Dans un jeu de $32$ cartes

  • un événement peut être “Obtenir un pique”.
  • un événement élémentaire peut être “Obtenir le roi de cœur”.
  • un événement impossible peut être “Obtenir le $4$ de trèfle”.
  • un événement certain peut être “Obtenir une carte rouge ou noire”.

 

II Opérations sur les événements

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers $\Omega$.

 Définition 5 : On appelle événement contraire de $A$, l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$.

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Exemple : Dans un lancé de dé, on considère l’événement $A$ “Obtenir un $1$ ou un $2$”.
L’événement contraire est $\overline{A}$ “Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$”.

 Définition 6 : L’événement “$A$ ou $B$”, noté $A \cup B$ et se lit “$A$ union $B$”, contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

2nd - cours - probabilités - fig2

Remarque : Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cup B$ est “Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$”.

 Définition 7 : L’événement “$A$ et $B$”, noté $A \cap B$ et se lit “$A$ inter $B$”, contient les issues communes à $A$ et $B$.

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Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cap B$ est “Obtenir $3$”.

 Définition 8 : Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l’événement $A \cap B$ est impossible.

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Exemple : Dans un lancé de dé, les événements “Obtenir $1$ ou $2$” et “Obtenir $4$ ou $5$” sont incompatibles.

Remarques : 

  • Lorsque deux événements $A$ et $B$ sont disjoints on note $A \cap B = \varnothing$ où $\varnothing$ signifie “ensemble vide”.
  • Pour tout événement $A$, $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints.

 

III Probabilité d’un événement

 Propriété 1 : Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire dont l’univers est $\Omega = \lbrace{e_1;e_2;\ldots;e_n\rbrace}$ la fréquence d’apparition $f_i$ de l’issue $e_i$ se stabilise autour d’un nombre $p_i$ appelé probabilité de l’issue $e_i$.

Exemple : Voici les fréquences d’apparition des faces d’un dé en fonction du nombre de lancers.

2nd - cours - probabilités - fig5

Remarque : Lorsqu’il nous est impossible de déterminer la probabilité d’un événement, on va utiliser cette propriété pour l’estimer.

 Propriété 2 : Si on appelle $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ les probabilités des événements  élémentaires $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ de l’univers $\Omega$ alors $$p_1+p_2+\ldots+p_n = 1.$$

Exemple : Quand on lance un dé à $6$ faces on a $p\left(\lbrace 1 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 3 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 5 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right) = 1$.

 Propriété 3 : La probabilité d’un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemple : Dans un lancer de dé à $6$ faces, on appelle $A$ l’événement “Obtenir un chiffre pair”.
Ainsi $p(A) = p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right)$.

 Définition 9 : On dit qu’il y a équiprobabilité si toutes les issues $e_i$ de l’univers $\Omega$ ont la même probabilité.

Exemple : Quand une pièce est équilibrée, un dé n’est pas truqué il y a équiprobabilité.

 Propriété 4 : Quand l’univers d’une expérience aléatoire contient $n$ issues et qu’il y a équiprobabilité, la probabilité de chacune de ces issues vaut $\dfrac{1}{n}$.

Exemple : La probabilité d’apparition de chacune des faces d’un dé à $6$ faces non truqué est $\dfrac{1}{6}$.

 Propriété 5 : Dans une situation d’équiprobabilité on a :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de }A}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l’événement $A$ “tirer un roi”, on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

 Propriété 6 : Soit $A$ un événement d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega$.

  1. $0 \le p(A) \le 1$
  2. $p\left(\Omega\right) = 1$
  3. $p\left(\varnothing\right) = 0$

 

IV Calcul de probabilités

 Propriété 7 : Soit $A$ un événement d’un univers $\Omega$.
$$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$$

Exemple : On utilise un jeu de $32$ cartes et on considère l’événement $A$ “Tirer un 7 rouges”. On a ainsi $p(A) = \dfrac{2}{32} = \dfrac{1}{16}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right) &= 1 – p(A) \\\\
&= 1 – \dfrac{1}{16}\\\\
&= \dfrac{15}{16} \end{align*}$

 Propriété 8 : On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$.
$$p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)-p\left(A \cap B\right)$$

Exemple : Dans une classe, la probabilité que les élèves  apprennent l’espagnol est de $0,4$, celle qu’ils apprennent allemand est de $0,1$ et celle qu’ils apprennent les deux langues est de $0,05$.
Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard apprennent au moins une de ces deux langues.
On appelle $E$ l’événement “L’élève apprend l’espagnol” et $A$ l’événement “l’élève apprend l’allemand”.
Ainsi $p(E) = 0,4$, $p(A) = 0,1$ et $p\left(A \cap E\right) = 0,05$.
Ainsi la probabilité qu’un élève apprennent l’espagnol ou l’allemand est :
$\begin{align*} p\left(A \cup E\right) &= p(A) + p(E)-p\left(A \cap E \right) \\\\
&= 0,4 + 0,1 – 0,05 \\\\
&= 0,45 \end{align*}$

Remarque : Lorsque les deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles $p\left(A \cap B\right) = 0$. La formule devient alors $p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)$.

 

V Représentations

Il existe différentes façons de représenter des situations liées aux probabilités. Parmi elles, celles qu’on rencontre le plus sont :

  • L’arbre pondéré ou arbre de probabilité 
    Exemple : Une urne contient $15$ jetons rouges et $5$ jetons bleus. $20\%$ des jetons rouges sont gagnants et $40\%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.
    On note :
    $\bullet$ $R$ l’événement “Le jeton est rouge”.
    $\bullet$ $B$ l’événement “Le jeton est bleu”.
    $\bullet$ $G$ l’événement “Le jeton est gagnant”.
    On a ainsi $p(R)=\dfrac{15}{20} = 0,75$ et $p(B)=\dfrac{5}{20}=0,25$.
    Puisque $20\%$ des jetons rouges sont gagnants, cela signifie que $80\%$ des jetons rouges sont perdants.
    On sait également que $40\%$ des jetons bleus sont gagnants donc $60\%$ des jetons bleus sont perdants.
    On obtient donc l’arbre suivant :
    2nd-cours-probas-fig3
  • Le tableau à double entrée
    Exemple : On lance $2$ dés équilibrés simultanément et on note la somme des deux faces.
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{dé 2\dé 1} & 1&2&3&4&5&6 \\
    \hline
    1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    \end{array}$$
  • Le diagramme de Venn
    Dans un classe de $35$ élèves, $15$ ont un chien, $12$ ont un chat et $5$ ont un chien et un chat.
    On appelle $D$ l’événement “L’élève a un chien” et $C$ l’événement “l’élève a un chat”.
    $15-5=10$ élèves ont un chien mais pas de chat.
    $12-5=7$ élèves ont un chat mais pas de chien.
    Cela signifie donc que $10+7+5=22$ élèves ont un chien ou un chat et par conséquent $13$ élèves n’ont ni l’un ni l’autre.
    On peut alors traduire ces données grâce à ce diagramme :
    2nd-cours-probas-fig4 (1)