Probabilités

I Définitions

Définition 1 : On dit qu’une expérience est aléatoire lorsqu’il est impossible de prédire à l’avance le résultat. Il y a donc plusieurs issues possibles.

Exemple : lancer un dé équilibré, tirer une carte au hasard d’un jeu,… sont des expériences aléatoire.

Définition 2 : On appelle issue ou éventualité le résultat d’une expérience.

Exemple : “Pile” et “Face” sont les deux issues possibles dans un lancé de pièce.

Remarque : En classe de seconde, on ne s’intéressera qu’aux expériences aléatoires ayant un nombre fini d’issues.

Définition 3 : L’univers est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Il est souvent noté $\Omega$, qui se lit “omega”.

Exemples :

Dans une lancé de pièce : $\Omega = \lbrace \text{Pile},\text{Face}\rbrace$.
Dans un lancé de dé à $6$ faces : $\Omega = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$.

Définition 4 :

On appelle événement tout ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
Un événement qui ne contient qu’une seule issue est appelé événement élémentaire.
Un événement qui ne peut se produire est un événement impossible.
Un événement qui est toujours réalisé est appelé événement certain.

Exemples : Dans un jeu de $32$ cartes

un événement peut être “Obtenir un pique”.
un événement élémentaire peut être “Obtenir le roi de cœur”.
un événement impossible peut être “Obtenir le $4$ de trèfle”.
un événement certain peut être “Obtenir une carte rouge ou noire”.

$\quad$

II Opérations sur les événements

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers $\Omega$.

Définition 5 : On appelle événement contraire de $A$, l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on considère l’événement $A$ “Obtenir un $1$ ou un $2$”.
L’événement contraire est $\overline{A}$ “Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$”.

Définition 6 : L’événement “$A$ ou $B$”, noté $A \cup B$ et se lit “$A$ union $B$”, contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

Remarque : Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cup B$ est “Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$”.

Définition 7 : L’événement “$A$ et $B$”, noté $A \cap B$ et se lit “$A$ inter $B$”, contient les issues communes à $A$ et $B$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cap B$ est “Obtenir $3$”.

Définition 8 : Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l’événement $A \cap B$ est impossible.

Exemple : Dans un lancé de dé, les événements “Obtenir $1$ ou $2$” et “Obtenir $4$ ou $5$” sont incompatibles.

Remarques :

Lorsque deux événements $A$ et $B$ sont disjoints on note $A \cap B = \varnothing$ où $\varnothing$ signifie “ensemble vide”.
Pour tout événement $A$, $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints.

III Probabilité d’un événement

Propriété 1 : Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire dont l’univers est $\Omega = \lbrace{e_1;e_2;\ldots;e_n\rbrace}$ la fréquence d’apparition $f_i$ de l’issue $e_i$ se stabilise autour d’un nombre $p_i$ appelé probabilité de l’issue $e_i$.

Exemple : Voici les fréquences d’apparition des faces d’un dé en fonction du nombre de lancers.

Remarque : Lorsqu’il nous est impossible de déterminer la probabilité d’un événement, on va utiliser cette propriété pour l’estimer.

Propriété 2 : Si on appelle $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ les probabilités des événements élémentaires $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ de l’univers $\Omega$ alors $$p_1+p_2+\ldots+p_n = 1.$$

Exemple : Quand on lance un dé à $6$ faces on a $p\left(\lbrace 1 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 3 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 5 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right) = 1$.

Propriété 3 : La probabilité d’un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemple : Dans un lancer de dé à $6$ faces, on appelle $A$ l’événement “Obtenir un chiffre pair”.
Ainsi $p(A) = p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right)$.

Définition 9 : On dit qu’il y a équiprobabilité si toutes les issues $e_i$ de l’univers $\Omega$ ont la même probabilité.

Exemple : Quand une pièce est équilibrée, un dé n’est pas truqué il y a équiprobabilité.

Propriété 4 : Quand l’univers d’une expérience aléatoire contient $n$ issues et qu’il y a équiprobabilité, la probabilité de chacune de ces issues vaut $\dfrac{1}{n}$.

Exemple : La probabilité d’apparition de chacune des faces d’un dé à $6$ faces non truqué est $\dfrac{1}{6}$.

Propriété 5 : Dans une situation d’équiprobabilité on a :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de }A}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l’événement $A$ “tirer un roi”, on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

Propriété 6 : Soit $A$ un événement d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega$.

$0 \le p(A) \le 1$
$p\left(\Omega\right) = 1$
$p\left(\varnothing\right) = 0$

IV Calcul de probabilités

Propriété 7 : Soit $A$ un événement d’un univers $\Omega$.
$$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$$

Exemple : On utilise un jeu de $32$ cartes et on considère l’événement $A$ “Tirer un 7 rouges”. On a ainsi $p(A) = \dfrac{2}{32} = \dfrac{1}{16}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right) &= 1 – p(A) \\\\
&= 1 – \dfrac{1}{16}\\\\
&= \dfrac{15}{16} \end{align*}$

Propriété 8 : On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$.
$$p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)-p\left(A \cap B\right)$$

Exemple : Dans une classe, la probabilité que les élèves apprennent l’espagnol est de $0,4$, celle qu’ils apprennent allemand est de $0,1$ et celle qu’ils apprennent les deux langues est de $0,05$.
Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard apprennent au moins une de ces deux langues.
On appelle $E$ l’événement “L’élève apprend l’espagnol” et $A$ l’événement “l’élève apprend l’allemand”.
Ainsi $p(E) = 0,4$, $p(A) = 0,1$ et $p\left(A \cap E\right) = 0,05$.
Ainsi la probabilité qu’un élève apprennent l’espagnol ou l’allemand est :
$\begin{align*} p\left(A \cup E\right) &= p(A) + p(E)-p\left(A \cap E \right) \\\\
&= 0,4 + 0,1 – 0,05 \\\\
&= 0,45 \end{align*}$

Remarque : Lorsque les deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles $p\left(A \cap B\right) = 0$. La formule devient alors $p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)$.

V Représentations

Il existe différentes façons de représenter des situations liées aux probabilités. Parmi elles, celles qu’on rencontre le plus sont :

L’arbre pondéré ou arbre de probabilité
Exemple : Une urne contient $15$ jetons rouges et $5$ jetons bleus. $20\%$ des jetons rouges sont gagnants et $40\%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.
On note :
$\bullet$ $R$ l’événement “Le jeton est rouge”.
$\bullet$ $B$ l’événement “Le jeton est bleu”.
$\bullet$ $G$ l’événement “Le jeton est gagnant”.
On a ainsi $p(R)=\dfrac{15}{20} = 0,75$ et $p(B)=\dfrac{5}{20}=0,25$.
Puisque $20\%$ des jetons rouges sont gagnants, cela signifie que $80\%$ des jetons rouges sont perdants.
On sait également que $40\%$ des jetons bleus sont gagnants donc $60\%$ des jetons bleus sont perdants.
On obtient donc l’arbre suivant :
Le tableau à double entrée
Exemple : On lance $2$ dés équilibrés simultanément et on note la somme des deux faces.
On obtient le tableau suivant :
Le diagramme de Venn
Dans un classe de $35$ élèves, $15$ ont un chien, $12$ ont un chat et $5$ ont un chien et un chat.
On appelle $D$ l’événement “L’élève a un chien” et $C$ l’événement “l’élève a un chat”.
$15-5=10$ élèves ont un chien mais pas de chat.
$12-5=7$ élèves ont un chat mais pas de chien.
Cela signifie donc que $10+7+5=22$ élèves ont un chien ou un chat et par conséquent $13$ élèves n’ont ni l’un ni l’autre.
On peut alors traduire ces données grâce à ce diagramme :