Résolution algébrique d’inéquations

I Quelques règles essentielles

Propriété 1 :

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans en changer le sens.
On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif sans en changer le sens.
Si on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres d’une inégalité alors on change le sens de cette inégalité.

Exemples :

$x+1\ge 4 \ssi x+1-1 \ge 4-1 \ssi x \ge 3$ : on a soustrait $1$ aux deux membres de l’inégalité.
$2x \le 6 \ssi \dfrac{2x}{2} \le \dfrac{6}{2} \ssi x \le 3$ : on a divisé les deux membres de l’inégalité par $2$.
$-3x > 12 \ssi \dfrac{-3x}{-3} \color{red}{<} \dfrac{12}{-3} \ssi x < -4$ : on a divisé les deux membres de l’inégalité par $-3$.

Dans ce chapitre on aura besoin de la règle des signes :

Un produit ou un quotient de nombres de même signe est positif;
Un produit ou un quotient de nombres de signes contraires est négatif.

II Inéquation produit

On va chercher à résoudre des inéquations du type : $(2x+4)(-3x+1) \pg 0$

On va pour cela étudier le signe de chacun des facteurs:

$2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$ et $2x+4 > 0 \ssi 2x>-4 \ssi x>-2$

$-3x+1=0 \ssi -3x=-1 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $-3x+1 > 0 \ssi -3x > -1 \ssi x <\dfrac{1}{3}$

On réunit maintenant ces informations dans un tableau de signes et on applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne :

On est donc en possession du signe de $(2x+4)(-3x+1)$ sur $\R$.

On voulait résoudre l’inéquation $(2x+4)(-3x+1) \pg 0$.

Il ne nous reste plus qu’à lire l’intervalle sur lequel l’expression est positive ou nulle. La solution est donc $\left[-2;\dfrac{1}{3}\right]$.

Remarque : La solution de $(2x+4)(-3x+1) \pp 0$ est $]-\infty;-2]\cup\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.

III Inéquation quotient

On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{-x+3}{2x+5} \pp 0$.

On va procéder, dans un premier temps, comme dans la partie précédente en étudiant le signe du numérateur et de celui du dénominateur.

$-x+3=0 \ssi -x=-3 \ssi x=3$ et $-x+3> 0 \ssi -x > -3 \ssi x <3$

$2x+5 =0 \ssi 2x=-5 \ssi x=-\dfrac{5}{2}$ et $2x+5 > 0 \ssi 2x>-5 \ssi x>-\dfrac{5}{2}$

On réunit maintenant ces informations dans un tableau de signes en faisant attention que le dénominateur n’a pas le droit de s’annuler. On symbolisera cette situation par une double barre.

La solution de l’inéquation $\dfrac{-x+3}{2x+5} \pp 0$ est donc $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[\cup[3,+\infty[$.

Remarque : Le nombre $-\dfrac{5}{2}$ annulant le dénominateur il sera toujours exclus de l’ensemble des solutions.

$\quad$

Exercices pour s’entraîner : Inéquations et tableaux de signes.