2nd – Cours – Tableaux de valeurs, de signes et de variations

Tableaux de valeurs, de signes et de variations

I Tableaux de valeurs

Les tableaux de valeurs permettent, entre autre, de représenter graphiquement les fonctions.
Exemple : On souhaite représenter la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+1$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& -1& ~0~& 0,25& 0,5& 1& 1,25& 1,5&1,75& 2& 2,5& 2,75& ~3~ & ~4~\\
\hline
f(x)& 5& 1& 0,31& -0,25& -1& -1,19& -1,25&-1,19& -1& -0,25& 0,31& 1&5\\
\hline
\end{array}$$

Les valeurs de $f(x)$ ont été arrondies à $10^{-2}$ près dans le tableau.
On peut ainsi lire que les points de coordonnées $(-1;5)$ ,$ (0;1)$, … appartiennent à la courbe représentant la fonction $f$. Il ne reste plus qu’à placer ces points dans un repère adapté et à tracer le plus précisément possible la représentation graphique de la fonction.

Il n’y a pas de règles absolues concernant le nombre de points qu’on doit placer pour tracer une courbe. Il faut cependant faire en sorte que l’aspect global de la courbe soit lisse quand c’est nécessaire.

Les calculatrices apportent une grande aide à ce sujet. On peut en effet voir sur l’écran l’allure de la courbe d’une façon relativement précise. On peut ainsi anticiper les zones nécessitant plus de points à placer que d’autres (autour de $1,5$ dans la fonction utilisée par exemple).

Les calculatrices graphiques sont également capables de fournir des tableaux de valeurs (à pas constant) très rapidement.

$\quad$

$\quad$

II Tableaux de signes

Dans cette partie nous allons pas construire de tableaux de signes de manière algébrique. Nous allons donc seulement utiliser les représentations graphiques des fonctions.

Un tableau de signes fournit $3$ informations sur les fonctions :

  • Les réels, s’ils existent, pour lesquelles la fonction s’annule;
    \item Les intervalles, s’ils existent, sur lesquels la fonction est positive;
  • Les intervalles, s’ils existent, sur lesquels la fonction est négative.

Exemple : On considère la fonction $f$, définie sur $\R$, dont on ne connaît que sa représentation graphique.

Graphiquement, on constate donc que :

  • la fonction $f$ s’annule en $-4$, $-1$ et $2$;
  • la courbe est au-dessus de l’axe des abscisse sur les intervalles $]-4;-1[$ et $]2;+\infty[$. Cela signifie donc que $f(x)>0$ sur ces intervalles;
  • la courbe est en-dessous de l’axe des abscisse sur les intervalles $]-\infty;-4[$ et $]-1;2[$. Cela signifie donc que $f(x)>0$ sur ces intervalles.

On représente alors ces informations de manière synthétique dans le tableau de signes suivant :

Remarque : L’ensemble de définition de certaines fonctions exclut des réels. C’est le cas, par exemple, de la fonction inverse. Elle n’est pas définie en $0$. On représente cette information à l’aide d’une double barre dans le tableau de signes.

Pour la fonction inverse on obtient alors le tableau de signes suivant :

$\quad$

III Tableaux de variations

Dans cette partie les tableaux de variations ne seront construits qu’à partir de la représentation graphique des fonctions. L’aspect algébrique fera l’objet d’un autre chapitre.

Graphiquement, nous nous rendons compte que les courbes représentant les fonctions donne l’impression de « monter » ou de « descendre ».

Définition 1 : On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.
On dit que :

  • la fonction $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x\pp y$ on a $f(x) \pp f(y)$.
  • la fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x\pp y$ on a $f(x) \pg f(y)$.

$\quad$

Remarques :

  • On dit que $f$ est strictement croissante sur $I$ si pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x< y$ on a $f(x) < f(y)$.
  • On dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$ si pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x< y$ on a $f(x) > f(y)$.

Exemple 1: On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ dont la représentation graphique est :

Le tableau de variations de la fonction $f$ est :

Cela signifie que :

  • la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$;
  • $f(-1)=2$;
  • la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[-1;1]$;
  • $f(1)=-2$;
  • la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.

Remarques :

  • Comme vous pouvez le constater, on indique, quand cela est possible, les valeurs aux extrémités des flèches.
  • Sur la première ligne, en plus des nombres en lesquels la fonction change de sens de variation on indique également les bornes de l’ensemble de définition.

$\quad$

Exemple 2: On considère une fonction $g$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ dont la représentation graphique est :

Le tableau de variations de la fonction $g$ est :

Avec $g(-2) \approx -1,4$ et $g(1) \approx 1,5$

$\quad$

Remarque : La double barre dans le tableau de variations indique que la fonction $g$ n’est pas définie en $0$, comme le précise l’ensemble sur lequel la fonction $g$ est définie.

$\quad$