Trigonométrie

I Repérage sur un cercle

1. Le cercle trigonométrique

Définition 1 : Sur un cercle on appelle sens direct ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre.

$\quad$

Définition 2 : On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$, de rayon $1$ orienté dans le sens direct.

$\quad$

2. Enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique

On munit le plan d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ et on considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$. On appelle $\mathscr{D}$ la droite passant par $I$ et parallèle à l’axe des ordonnées (elle est donc tangente au cercle $\mathscr{C}$ en $I$).

On appelle $A$ le point de coordonnées $(1;1)$. On munit ainsi la droite $\mathscr{D}$ du repère $(I;A)$.

En enroulant cette droite $\mathscr{D}$ sur le cercle $\mathscr{C}$ on fait correspondre, pour tout réel $x$, au point $M$ de coordonnées $(1;x)$ de la droite $\mathscr{D}$ un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$.

Propriété 1 : À tout réel $x$ il existe donc un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ associé à ce réel $x$.
On dit alors que le point $M’$ est l’image du réel $x$ et on note parfois $M(x)$.

Remarque : A chaque point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ il existe une infinité de réel ayant le point $M’$ comme image.

Propriété 2 : Si $M’$ est associé au réel $x$ alors il est également l’image de tous les réels de la forme $x+k\times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemple : Si $M’$ est un point du cercle $\mathscr{C}$ image du réel $1,5$ alors il est également l’image des réels $1,5+2\pi$; $1,5+4\pi$; $1,5+6\pi$; $\ldots$ et également des réels $1,5-2\pi$; $1,5-4\pi$; $1,5-6\pi$; $\ldots$

Remarque : Si $x\in[0;2\pi]$ alors $x$ représente la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$.

$\quad$

3. Quelques valeurs particulières

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle associé}\phantom{\dfrac{1}{1}}&30\text{°}&45\text{°}&60\text{°}&90\text{°}\\
\hline
\end{array}$$

On obtient les autres correspondances par symétrie.

Remarque : On définit ainsi une nouvelle unité d’angle appelée radian notée “rad”. $1$ radian est la mesure d’un angle $\widehat{IOM’}$ où $M’$ est l’image du réel $1$.

$\quad$

4. Quelques exemples d’utilisation

Méthode 1 : Deux réels ont-ils la même image sur le cercle

On considère les réels $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{24\pi}{4}=6\pi=3\times 2\pi$.
La différence étant un multiple de $2\pi$ les deux nombres ont la même image sur le cercle.
On considère les réels $\dfrac{4\pi}{3}$ et $-\dfrac{11\pi}{3}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{4\pi}{3}-\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right)=\dfrac{15\pi}{3}=5\pi$.
La différence n’est pas un multiple de $2\pi$. Les deux nombres n’ont donc pas la même image sur le cercle.

$\quad$

Méthode 2 : Déterminer l’image d’un réel sur le cercle trigonométrique

On veut déterminer l’image du nombre $\dfrac{19\pi}{4}$.

On se place au point associé à $\dfrac{\pi}{4}$.
Puisque le nombre $\dfrac{19\pi}{4}$ est positif on va reporter dans le sens trigonométrique $19$ fois l’arc de cercle correspondant.
On arrive sur le point associé à $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\quad$

II Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition 3 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on appelle $M$ un point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.
On appelle :

cosinus du nombre $x$ l’abscisse du point $M$. On le note $\cos(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\cos x$.
sinus du nombre $x$ l’ordonnée du point $M$. On le note $\sin(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\sin x$.

Propriété 3 : Pour tout réel $x$ on a :

$-1 \pp \cos x \pp 1$
$-1 \pp \sin x \pp 1$
$\left(\cos x\right)^2+\left(\sin x\right)^2=1$

$\quad$

Remarque : On note souvent $\left(\cos x\right)^2=\cos^2 x$ et $\left(\sin x\right)^2=\sin^2 x$.

Voici quelques valeurs remarquables à connaître :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\cos x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&\phantom{~~}0\phantom{~~}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\sin x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\phantom{~~}0\phantom{~~}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$