Les vecteurs (2/2)

I Coordonnées d’un vecteur

Dans tous ce chapitre on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

Définition 1 : On considère un vecteur $\vec{u}$ du plan. Il existe alors un unique point $M\left(x_M;y_m\right)$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$.
Les coordonnées du vecteurs $\vec{u}$ sont celles du point $M$.

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

Remarques :

Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.

Propriété 1 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

Ainsi si on considère les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ alors $\vec{u}=\vec{v} \ssi \begin{cases} x=x’\\y=y’\end{cases}$

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

Propriété 2 : On considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan. Alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

Preuve de la propriété 2

Il existe un unique point $M\left(x_M;y_M\right)$ du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$.

Par conséquent $OMBA$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu $N$.

$N$ est le milieu de $[OB]$ donc : $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_B+x_O}{2}=\dfrac{x_B}{2}\\\\y_N=\dfrac{y_B+y_O}{2}=\dfrac{y_B}{2} \end{cases}$.

$N$ est aussi le milieu de $[AM]$ donc $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_M}{2}\end{cases}$.

Donc $\begin{cases} \dfrac{x_B}{2} = \dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\ \dfrac{y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_M}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=x_A+x_M\\\\ y_B=y_A+y_M \end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=x_B-x_A\\\\ y_M=y_B-y_A \end{cases}$

D’après la définition les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont celles du point $M$.

Donc $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.

Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.

Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$

D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$

Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$

Ainsi on obtient $D(6;-3)$

On vérifie les calculs avec le graphique.

II Somme de deux vecteurs

Propriété 3 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$. Alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’)$.

Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

III Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

Propriété 4 : On considère un réel $k$ et un vecteur $\vec{u}(x;y)$ alors le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur dont les coordonnées sont $(kx;ky)$.

Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$, $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

Propriété 5 : On considère $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur.

Si $k>0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de même sens;
Si $k<0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de sens contraire.

Propriété 6 : On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les réels $k$ et $k’$.

$(k+k’)\vec{u}=k\vec{u}+k’\vec{u}$
$k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=k\vec{u}+k\vec{v}$
$k\left(k’\vec{u}\right)=(kk’)\vec{u}$

IV Colinéarité

Définition 2 : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

Remarques :

Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

Propriété 7 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\begin{cases} x’=kx \\\\y’=ky \end{cases}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy’-x’y=0$.

Exemples :

On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$. On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.
On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
$2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires.

Propriété 8 : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.

D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.

Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.

Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

Propriété 9 : (application) Trois points $A$, $B$, et $C$, sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$

D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.

Mais $1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

Propriété 10 : (milieu) On considère trois points $A$, $B$ et $M$.

$M$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$

D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2,5;1)$

Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

$M$ est bien le milieu de $[AB]$.