Devoir commun de 2nd

Exercice 1 – 6 points

Une classe de seconde d’un lycée a répondu à la question suivante : “Combien de livres avez-vous lu lors des 12 derniers mois ?”

Voici le tableau des réponses de la classe :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de livres}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&\text{Total}\\
\hline
\text{Effectif}&5&8&2&4&1&3&4&2&1& \\
\hline
\text{Effectifs cumulés croissants}& & & & & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

Compléter le tableau
$\quad$
Déterminer la moyenne $\overline{x}$ de cette série (arrondie à l’unité). Indiquer les calculs.
$\quad$
Déterminer la médiane $Me$ de cette série. Justifier.
Que signifie cette valeur?
$\quad$
Déterminer les quartiles $Q_1$ et $Q_3$. Justifier.
$\quad$
Calculer le pourcentage du nombre d’élèves qui ont lu au plus $5$ livres ces 12 derniers mois. Arrondir au dixième.
$\quad$

Correction Exercice 1

$\quad$
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de livres}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&\text{Total}\\
\hline
\text{Effectif}&5&8&2&4&1&3&4&2&1& 30\\
\hline
\text{Effectifs cumulés croissants}&5 &13 &15 &19 &20 &23 &27 &29 &30 & 30\\
\hline
\end{array}$$
$\overline{x} = \dfrac{0 \times 5 + 1 \times 8 + \ldots + 8\times 1}{30} = \dfrac{89}{30} \approx 3$
$\quad$
L’effectif total est de $30$. Par conséquent la médiane est la moyenne entre la quinzième et seizième valeur.
$Me = \dfrac{2 + 3}{2} = 2,5$
La moitié des élèves ont lu moins de $2,5$ livres lors des 12 derniers mois.
$\quad$
$\dfrac{30}{4} = 7,5$. $Q_1$ est donc la huitième valeur.
Par conséquent $Q_1 = 1$.
$\dfrac{30 \times 3}{4} = 22,5$. $Q_3$ est donc la vingt-troisième valeur.
Par conséquent $Q_3 = 5$.
$\quad$
$23$ élèves ont lu au plus $5$ livres ces 12 derniers mois.
Cela représente $\dfrac{23}{30} \approx 76,67\%$ des élèves de la classe.

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Exercice 2 – QCM – 10 points

Choisir la bonne réponse. Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève pas de points.

Pour les questions 1, 2, 3, 4, 5, $f$ est une fonction admettant le tableau de variations suivant :

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|}
\hline
& & A&B&C&\begin{array}{c}\text{Votre}\\\text{choix}\end{array} \\
\hline
1&\begin{array}{l} \text{L’ensemble de}\\ \text{définition de } f \text{est :}\end{array}& [-2;4] & [0;2]\cup[6;9]& [0;11] & \\
\hline
2&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(0) = 2 & f(2) = 0 & \begin{array}{l}\text{L’image de }0 \text{ par }f \text{ est} \\\text{égale à }11 \end{array} & \\
\hline
3&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(3) \le f(4) & f(3) \ge f(4) & \begin{array}{l} \text{On ne peut pas}\\ \text{comparer} f(3) \text{ et } f(4) \end{array}& \\
\hline
4& f \text{ admet pour minimum :} & -1 \text{ sur } [6;11] & 0 \text{ sur } [0;11] & -2 \text{ sur } [6;11] & \\
\hline
5&f \text{ est } & \begin{array}{l} \text{croissante sur}\\ \text{l’intervalle }[2;4] \end{array} & \begin{array}{l} \text{décroissante sur} \\ \text{l’intervalle }[-2;4]\end{array} & \begin{array}{l} \text{croissante sur} \\ \text{l’intervalle }[0;4]\end{array} & \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Pour les question 6, 7, 8, 9, 10, on considère la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ :

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|}
\hline
& & A&B&C&\begin{array}{c}\text{Votre}\\\text{choix}\end{array} \\
\hline
6&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses est}\\ \text{vraie, laquelle} \end{array} & M(3;0) \in \mathscr{C}_g & N(0;3)\in \mathscr{C}_f & P(0;-3)\in \mathscr{C}_f$ & \\
\hline
7&\begin{array}{l} \text{Sur l’intervalle }[-6;6], f \\ \text{admet pour maximum } \end{array} & \begin{array}{l} -1\text{ atteint pour }\\ x=4 \end{array} & \begin{array}{l} 4 \text{ atteint pour } \\ x=0 \end{array} & \begin{array}{l} -2 \text{ atteint pour } \\x=-6 \end{array} & \\
\hline
8& \begin{array}{l} \text{Une de ces réponses est } \\ \text{vraie, laquelle ?} \\ \text{Pour tout réel} x \\ \text{appartenant à }[-6;6], \text{ on a :} \end{array}& f(x) \ge -2 & f(x) \le -2 & f(x) \le 0 & \\
\hline
9 & \begin{array}{l} \text{Le nombre de solution(s)} \\ \text{à l’équation } f(x) = 2 \\ \text{est égal à} \end{array} & 0 & 2 & 3 & \\
\hline
10 & \begin{array}{l} \text{L’ensemble solution de} \\ \text{l’inéquation } f(x) \ge 0 \\ \text{est : } \end{array} & [-3;3] \cup [5;6] & [-6;-3] \cup [3;5] & \lbrace -3;3;5 \rbrace & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 2

L’ensemble de définition est $[0;11]$ : Réponse C
$\quad$
$f(0) = 2$ (Pour les autres propositions : $f(2) = -1$ et $f(11) = 0$) : Réponse A
$\quad$
La fonction $f$ est croissante sur $[2;6]$ donc $f(3) \le f(4)$ : Réponse A
$\quad$
$f$ admet pour minimum $-2$ sur $[6;11]$ : Réponse C
$\quad$
$f$ est croissante sur l’intervalle $[2;6]$. Elle est donc croissante sur l’intervalle $[2;4]$ : Réponse A
$\quad$
$M(3;0) \in \mathscr{C}_f$ (Pour les autres propositions : $N(0;4)$ et $P(-3;0)$) : Réponse A
$\quad$
$f$ admet pour maximum $4$ atteint pour $x=0$ sur l’intervalle $[-6;6]$ : Réponse B
$\quad$
$f(x) \ge -2$ sur $[-6;6]$ : Réponse A
$\quad$
L’équation $f(x) = 2$ possède $3$ solutions sur $[-6;6]$ : $-2$, $2$ et $6$ : Réponse C
$\quad$
La solution de $f(x) \ge 0$ est $[-3;3] \cup [5;6]$ : Réponse A
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 – 7 points

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules noires.
On tire une boule dans l’urne et on note sa couleur. Puis, après avoir remis la boule dans l’urne, on effectue un second tirage et on note la couleur de la boule tirée.
On appelle $R$ l’événement : “Choisir une boule rouge” er $N$ l’événement : “Choisir une boule noire”.
On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.
Dans tout l’exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Représenter cette situation par un arbre.
$\quad$
On définit les événements suivants :
$A$ : “On obtient une boule rouge lors du premier tirage”
$B$ : “On obtient deux boules noires après les deux tirages”
$C$ : “On obtient deux boules de couleurs différentes après les deux tirages”
a. Calculer la probabilité de l’événement $A$. Justifier.
$\quad$
b. Calculer la probabilité de l’événement $B$. Justifier.
$\quad$
c. Calculer la probabilité de l’événement $C$. Justifier
$\quad$
Calculer la probabilité de l’événement $\overline{A}$. Justifier.
$\quad$
a. Exprimer par une phrase l’événement $B\cap C$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité de l’événement $B \cap C$. Justifier.
$\quad$
c. Que peut-on dire des événements $B$ et $C$.
$\quad$
Calculer la probabilité de l’événement $B\cup C$. Justifier.
$\quad$

Correction Exercice 3

$\quad$
$\quad$
a. $p(A) = \dfrac{3}{5}$
$\quad$
b. $p(B) = p(N \cap N) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$
$\quad$
c. $p(C) = p(N \cap R) + p(R \cap N) = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{25}$
$\quad$
$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A) = \dfrac{2}{5}$
$\quad$
a. $B \cap C$ : “On obtient deux boules noirs de couleurs différentes après les deux tirages”.
$\quad$
b. On a donc $p(B \cap C) = 0$
$\quad$
c. Les deux événements sont incompatibles.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} p(B \cup C) &= p(B) + p(C) – p(B \cap C) \\
& = \dfrac{4}{25} + \dfrac{12}{25} – 0\\
& = \dfrac{16}{25}
\end{align*}$

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Exercice 4 – 5,5 points

On a représenté le vecteur $\vec{AB}$ dans le repère $\Oij$ ci-dessous.

On donne les points : $C(5;-2)$, $D(0;-3)$ et $M(2;4)$.

Placer dans ce repère les points $C$, $D$ et $M$.
$\quad$
Lire les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer la longueur $AB$.
$\quad$
Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{DC}$.
En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
$\quad$
Montrer que les vecteurs $\vec{MB}$ et $\vec{MC}$ sont colinéaires.
Que peut-on en déduire pour les points $M$, $B$ et $C$?
$\quad$
Placer le point $N$ tel que $\vec{MN} = \vec{MA} + \dfrac{1}{2}\vec{MB}$.
Lire et donner les coordonnées de $N$.
$\quad$

Correction Exercice 4

$\quad$
On a $\vec{AB}(5;1)$.
Ainsi $AB = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}$
$\quad$
On a $\vec{DC}(5-0;-2+3)$ soit $\vec{DC}(5;1)$.
Par conséquent $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
$\quad$
$\vec{MB}(3-2;2-4)$ soit $\vec{MB}(1;-2)$
$\vec{MC}(5-2;-2-4)$ soit $\vec{MC}(3;-6)$.
Par conséquent $\vec{MC}=3\vec{MB}$.
Les vecteurs sont donc colinéaires et les points $M$, $B$ et $C$ sont alignés.
$\quad$
On a ainsi $N(-1,5;0)$.

[collapse]

Exercice 5 – 8 points

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 – 2x – 3$.
a. Montrer que $f(x) = (x-1)^2 – 4$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
a. Compléter le tableau de valeurs suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-2&-1&0&0,5&1&1,5&2&3&4 \\
\hline
f(x) & 5 & & & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$
b. On considère le repère orthonormé du plan ci-dessous.

Tracer sur ce repère la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$.
$\quad$
c. Résoudre graphiquement $f(x) < 0$. Justifier.
$\quad$
a. Montrer que $f(x) = (x+1)(x-3)$.
$\quad$
b. Retrouver par le calcul la réponse à la question 2.c.
$\quad$
$g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2x-3$.
a. Tracer $\mathscr{C}_g$, la courbe représentative de $g$ dans le repère précédent.
$\quad$
b. Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$. Justifier.
$\quad$
c. Retrouver le résultat précédent algébriquement.
$\quad$

Correction Exercice 5

a. $\quad$
$\begin{align*}
(x-1)^2 – 4 &= x^2 – 2x + 1 – 4 \\
& = x^2 – 2x -3 \\
&= f(x)
\end{align*}$
b. $\quad$
a.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-2&-1&0&0,5&1&1,5&2&3&4 \\
\hline
f(x) & 5 &0 &-3 &-3,75 &-4 &-3,75 &-3 &0 &5 \\
\hline
\end{array}$$
b. $\quad$

c. On cherche graphiquement les abscisses des points de $\mathscr{C}_f$ situés sous l’axe des abscisses.
La solution graphique de $f(x) < 0$ est $]-1;3[$.
$\quad$
a.
$\begin{align*}
(x+1)(x-3) &= x^2 -3x +x – 3 \\\\
&=x^2 – 2x -3 \\\\
&= f(x)
\end{align*}$
$\quad$
b. On résout l’inéquation $(x+1)(x-3) <0$ à l’aide d’un tableau de signes.

On retrouve ainsi la solution $]-1;3[$.
$\quad$
b. On cherche les abscisses des points d’intersection des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
Les solutions sont donc $0$ et $4$.
$\quad$
c.
$\begin{align*}
f(x) = g(x) &\ssi x^2 -2x -3 = 2x – 3 \\\\
&\ssi x^2 – 4x = 0 \\\\
& \ssi x(x – 4) = 0
\end{align*}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Par conséquent les solutions sont $0$ et$ 4$.

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$\quad$

Exercice 6 – 3,5 points

Soit $p$ la fonction définie par $p(x) = \dfrac{25 – x}{45 – 2x}$.

Donner le domaine de définition de $p$.
$\quad$
Résoudre $p(x) = 0,6$
$\quad$
Résoudre $p(x) \ge 0$.
$\quad$

Correction Exercice 6

Il ne faut pas que $45-2x = 0 \ssi x = \dfrac{45}{2}$
L’ensemble de définition est $\mathscr{D}_p=\left]-\infty;\dfrac{45}{2}\right[\cup\left]\dfrac{45}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} p(x) =0,6 & \ssi 25 – x = 0,6(45 -2x) \\\\
&\ssi 25 – x = 27 – 1,2x \\\\
&\ssi 0,2x = 2 \\\\
&\ssi x= 10
\end{align*}$
$\quad$
On utilise un tableau de signes pour résoudre cette inéquation.
$25 -x= 0 \ssi x=5$ et $25 -x > 0 \ssi x <25$
$45 – 2x = 0 \ssi x =\dfrac{45}{2}$ et $45 – 2x > 0 \ssi x<\dfrac{45}{2}$

La solution est $\left]-\infty;\dfrac{45}{2}\right[\cup [25;+\infty[$.

[collapse]