2nd – Devoir commun 3 (février)

Exercice 1

La courbe $\mathscr{C}$ indiquée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $[-4;9]$.

2nd - DC3 - ex1

  1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de }x&-4&-3&4&\phantom{\dfrac{2x-1}{3x-2}} \\
    \hline
    \text{Valeurs de }f(x)&\phantom{\dfrac{2x-1}{3x-2}}&\phantom{\dfrac{2x-1}{3x-2}}&\phantom{\dfrac{2x-1}{3x-2}}&6\\
    \hline
    \end{array}$$$\quad$
    b. Résoudre l’équation $f(x)=4$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’inéquation $f(x) \le 2$.
    $\quad$
    d. Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
    e. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[-4;9]$. Préciser le maximum et le minimum de $f$ sur l’intervalle $[-4;9]$.
    $\quad$
  2. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\dfrac{11-x}{2}$.
    a. Tracer la représentation graphique de $g$ dans le même repère que celle de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) \ge g(x)$.
    $\quad$
  3. La droite représentée en trait pointillé est la représentation graphique d’une fonction affine $h$.
    Elle passe par les points $A(4;1)$ et $B(8;3)$.
    Déterminer par le calcul son expression algébrique.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. $\quad$
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de }x&-4\phantom{-}&-3\phantom{-}&\phantom{-}4\phantom{-}&\phantom{-}5\phantom{-} \\
    \hline
    \text{Valeurs de }f(x)&4&3&5&6\\
    \hline\end{array}$$
    b. On cherche les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite d’équation $y=4$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=4$ sont donc $-4$, $3$ et $6$.
    $\quad$
    c. On cherche les abscisses des points de la courbe $\mathscr{C}$ situés sous la droite d’équation $y=2$.
    La solution de l’équation $f(x)\ge 2$ est $[-2;2]\cup[7;9]$.
    $\quad$
    d. On a le tableau de signes suivant.
    2nd - DC3 - ex1cor1
    e. On obtient le tableau de variations suivant :
    2nd - DC3 - ex1cor2
    Le minimum de $f$ sur $[-4;9]$ est $-3$ et son maximum est $6$.
    $\quad$
  2. a. On a $g(x)=\dfrac{11}{2}-\dfrac{1}{2}x$.
    $g$ est donc une fonction affine. Elle est représentée par une droite.
    $g(1)=5$ et $g(9)=1$. Par conséquent, cette droite passe par les points de coordonnées $(1;5)$ et $(9;1)$.
    $\quad$
    b. Graphiquement, la solution de l’inéquation $f(x) \ge g(x)$ est $[3;7]$.
    $\quad$
  3. $h$ est une fonction affine. On cherche donc les valeurs des réels $a$ et $b$ tels que $h(x)=ax+b$.
    $a=\dfrac{3-1}{8-4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent $h(x)=\dfrac{1}{2}x+b$.
    Or $h(4)=1$ donc $\dfrac{4}{2}+b= 1 \ssi 2+b=1 \ssi b=-1$.
    L’expression algébrique de la fonction $h$ est donc $h(x)=\dfrac{x}{2}-1$.
    $\quad$
    2nd - DC3 - ex1cor3

 

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$\quad$

Exercice 2

Dans un repère orthonormé (unité : le centimètre), on considère les points $A(6;5)$, $B(3;-1)$ et $C(0;2)$.
La figure sera à compléter au fur et à mesure.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur le repère.
    $\quad$
  2. a. Calculer les distances $AB$ et $AC$.
    $\quad$
    b. Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$?
    $\quad$
  3. a. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$.
    $\quad$
    b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $D$ symétrique de $A$ par rapport à $I$.
    $\quad$
    c. Que peut-on dire du quadrilatère $ABDC$? Justifier.
    $\quad$
Correction Exercice 2

2nd - DC3 - ex2cor

  1. cf figure
    $\quad$
  2. a. $AB=\sqrt{(3-6)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$
    $AC=\sqrt{(0-6)^2+(2-5)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $ABC$, on constate que $AB=AC$. Ce triangle est donc isocèle en $A$.
    $\quad$
  3. a. On a $x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{3+0}{2}=\dfrac{3}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
    b. $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$. Par conséquent $I$ est le milieu de $[AD]$.
    Ainsi $\dfrac{3}{2} =\dfrac{6+x_D}{2} \ssi 3=6+x_D \ssi x_D=-3$
    et $\dfrac{1}{2}=\dfrac{5+y_D}{2} \ssi 1=5+x_D \ssi x_D=-4$.
    $\quad$
    c. Les diagonales du quadrilatère $ABDC$ se coupent en leur milieu; c’est donc un parallélogramme.
    De plus, deux côtés consécutifs, $[AB]$ et $[AC]$ sont de même longueur. $ABDC$ est par conséquent un losange.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Toute bonne réponse apporte $1$ point. Plusieurs réponses, une réponse fausse ou l’absence de réponse entraîne une note nulle pour la question.

  1. La forme développée et réduite de $(3x-5)(x+3)$ est :
    $$\begin{array}{ll}
    \square ~4x-2 \qquad & \square ~3x^2-15 \quad\\\\
    \square ~3x^2+4x-15 \qquad& \square ~3x^2-4x+15\end{array}$$
    $\quad$
  2. La forme factorisée de $(3x-2)^2-(x+1)^2$ est égale à :
    $$\begin{array}{ll}
    \square ~(3x-2)\left[3x-2-(x+1)^2\right] \qquad & \square ~(3x-2)(2x-3) \\\\
    \square ~(3x-2)(2x-1) \qquad& \square ~(2x-3)(4x-1)\end{array}$$
    $\quad$
  3. On considère la droite $(\Delta)$ d’équation $y=-2x+2013$. Un seul de ces points appartient à $(\Delta)$ :
    $$\begin{array}{ll}
    \square ~(-3;2019) \qquad & \square ~(0;2011) \\\\
    \square ~(1;-2015) \qquad& \square ~(3;2010)\end{array}$$
    $\quad$
  4. La solution de l’équation $3-(x+5)=2x$ est :
    $$\begin{array}{ll}
    \square ~-\dfrac{2}{3} \qquad & \square ~\dfrac{8}{3} \\\\
    \square ~-\dfrac{8}{3} \qquad & \square ~-0,67\end{array}$$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La forme développée et réduite de $(3x-5)(x+3)$ est :
    $$\begin{array}{ll}
    \square ~4x-2 \qquad & \square ~3x^2-15 \quad\\\\
    \boxtimes ~3x^2+4x-15 \qquad& \square ~3x^2-4x+15\end{array}$$
    Main méthode $(3x-5)(x+3)=3x^2+9x-5x-15=3x^2+4x-15$.
    $\quad$
  2. La forme factorisée de $(3x-2)^2-(x+1)^2$ est égale à :
    $$\begin{array}{ll}
    \square ~(3x-2)\left[3x-2-(x+1)^2\right] \qquad & \square ~(3x-2)(2x-3) \\\\
    \square ~(3x-2)(2x-1) \qquad& \boxtimes ~(2x-3)(4x-1)\end{array}$$
    Main méthode$(3x-2)^2-(x+1)^2=\left[(3x-2)-(x+1)\right]\left[(3x-2)+(x+1)\right]=(2x-3)(4x-1)$
    $\quad$
  3. On considère la droite $(\Delta)$ d’équation $y=-2x+2013$. Un seul de ces points appartient à $(\Delta)$ :
    $$\begin{array}{ll}
    \boxtimes ~(-3;2019) \qquad & \square ~(0;2011) \\\\
    \square ~(1;-2015) \qquad& \square ~(3;2010)\end{array}$$
    Main méthode$-2\times (-3)+2013=6+2013=2019$
    $\quad$
  4. La solution de l’équation $3-(x+5)=2x$ est :
    $$\begin{array}{ll}
    \boxtimes ~-\dfrac{2}{3} \qquad & \square ~\dfrac{8}{3} \\\\
    \square ~-\dfrac{8}{3} \qquad & \square ~-0,67\end{array}$$
    Main méthode$3-(x+5)=2x \ssi 3-x-5=2x \ssi -2=3x \ssi x=-\dfrac{2}{3}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Afin de tester l’efficacité d’un médicament contre le stress, $60$ patients ayant environ $16,5$ de pression artérielle ont accepté de participer à un essai clinique.
Après tirage au sort, la moitié des patients, constituant le groupe M, a pris le médicament pendant un mois. L’autre moitié, constituant le groupe P, a pris un placebo, c’est-à-dire un comprimé neutre ne contenant aucun principe actif.
Les patients ne savent pas s’ils prennent le médicament ou le placebo.
Les mesures de pression artérielle concernant les patients des deux groupes après le mois d’essai clinique sont indiquées ci-dessous :

Groupe M : les données sont regroupées dans le tableau ci-dessous.
$$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Pression artérielle} &12&13&13,5&14&14,5&15&16&17&18\\
\hline
\text{Effectifs}&2&4&2&7&6&5&1&1&2\\
\hline
\end{array}$$

Groupe P : les données sont représentées par le graphique ci-dessous.

2nd - DC3 - ex4

On arrondira si nécessaire les résultats au dixième.

  1. Déterminer les fréquences, écrites en pourcentages, de la série du groupe M.
    $\quad$
  2. Déterminer en justifiant, pour chaque série l’étendue, la moyenne, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile.
    $\quad$
  3. En utilisant les données et (ou) le graphique dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses et justifier le choix :
    Phrase 1 : Au moins $25\%$ des patients du groupe M ont une pression artérielle inférieure ou égale à $13,5$.
    Phrase 2 : Au moins $75\%$ des patients ayant pris le placebo ont une pression artérielle supérieure ou égale à $15$.
    Phrase 3 : Sur l’ensemble des $60$ patients la pression artérielle moyenne est supérieure ou égale à $16$.
    $\quad$
  4. En utilisant les données et (ou) le graphique dire si le médicament semble être efficace en présentant vos arguments.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $30$ patients sont dans le groupe M.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Pression artérielle}&12&13&13,5&14&14,5&15&16&17&18\\
    \hline
    \text{Effectifs}&2&4&2&7&6&5&1&1&2\\
    \hline
    \text{Fréquences (en }\%)&6,7&13,3&6,7&23,3&20&16,7&3,3&3,3&6,7 \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Pour le groupe M
    étendue : $e_M=18-12=6$
    moyenne : $\overline{x_M}=\dfrac{12\times 2 + 13\times 4+\ldots +18\times 2}{30}=\dfrac{432}{30}=14,4$
    médiane : $\dfrac{30}{2}=15$. La médiane est donc la moyenne entre la $15^{\text{eme}}$ et la $16^{\text{eme}}$ valeur.
    Soit $M_M=\dfrac{14+14,5}{2} = 14,25$.
    Quartile 1 : $\dfrac{30}{4}=7,5$ On prend donc la $8^{\text{eme}}$ valeur et $Q_1=13,5$.
    Quartile 3 : $\dfrac{30 \times 3}{4}=22,5$ On prend donc la $23^{\text{eme}}$ valeur et $Q_3=15$.
    $\quad$
    $\quad$
    Pour le groupe P
    étendue : $e_P=17,5-14=3,5$
    moyenne : $\overline{x_P}=\dfrac{14\times 2 + 15\times 1+\ldots +17,5\times 3}{30}=\dfrac{488}{30}\approx 16,3$
    médiane : $\dfrac{30}{2}=15$. La médiane est donc la moyenne entre la $15^{\text{eme}}$ et la $16^{\text{eme}}$ valeur.
    Soit $M_P=\dfrac{16,5+16,5}{2} = 16,5$.
    Quartile 1 : $\dfrac{30}{4}=7,5$ On prend donc la $8^{\text{eme}}$ valeur et $Q_1=16$.
    Quartile 3 : $\dfrac{30 \times 3}{4}=22,5$ On prend donc la $23^{\text{eme}}$ valeur et $Q_3=17$.
    $\quad$
  3. Phrase 1 : Vraie car $Q_1=13,5$.
    Phrase 2 : Vraie car $\dfrac{1+3+7+8+6+3}{30} \approx 0,93 > 0,75$.
    Phrase 3 : Fausse car $\dfrac{488+432}{60} \approx 15,3$
    $\quad$
  4. Les quartiles, moyennes et médiane sont plus faibles dans le groupe M que dans le groupe P. Même si l’étendue est plus importante dans le groupe M que dans le groupe P, le médicament semble être efficace.

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$\quad$

Exercice 5

Dans le repère ci-dessous on a représenté la droite $\left(d_1\right)$ d’équation $y=-2x-1$.

2nd - DC3 - ex5

  1. Le point $C(-7;12)$ appartient-il à la droite $\left(d_1\right)$? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Soit $\left(d_2\right)$ la droite d’équation $y=\dfrac{2}{3}x+1$.
    a. En justifiant son existence, déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
    $\quad$
    b. Tracer le droite $\left(d_2\right)$ dans le repère ci-dessus et vérifier les résultats trouvés à la question précédente.
    $\quad$
  3. On considère la droite $\left(d_3\right)$ passant par les points $C(-5;-1)$ et $D(3;4)$. (Ne pas tracer cette droite.)
    a. Déterminer, par le calcul, l’équation de la droite $\left(d_3\right)$.
    $\quad$
    b. Les droites $\left(d_2\right)$ et $\left(d_3\right)$ sont-elles parallèles? Justifier votre réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $-2\times (-7)-1=14-1=13\neq 12$ donc $C$ n’appartient pas à la droite $\left(d_1\right)$.
    $\quad$
  2. a. Les coefficients directeurs de ces deux droites sont différents. Elles sont donc sécantes.
    Les coordonnées du point d’intersection vérifient alors le système suivant
    $$\begin{align*} \begin{cases} y=-2x-1\\y=\dfrac{2}{3}x+1 \end{cases} &\ssi \begin{cases}y=-2x-1 \\-2x-1=\dfrac{2}{3}x+1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x-1 \\-2=\dfrac{8}{3}x \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{3}{4} \\y=-2 \times \dfrac{-3}{4}-1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{3}{4} \\y=\dfrac{1}{2}\end{cases} \end{align*}$$
    Les coordonnées du point d’intersection des deux droites sont donc $\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
    b. Pour tracer la droite $\left(d_2\right)$ on va choisir deux abscisses au hasard.
    Si $x=-3$ alors $y=\dfrac{2}{3} \times (-3)+1 = -1$. La droite passe par le point de coordonnées $(-3;-1)$.
    Si $x=3$ alors $y=\dfrac{2}{3} \times 3+1 = 3$. La droite passe par le point de coordonnées $(3;3)$.
    $\quad$
  3. a. $x_C \neq x_D$ donc une équation de $\left(d_3\right)$ est de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{-1-4}{-5-3}=\dfrac{5}{8}$.
    Ainsi une équation de $\left(d_3\right)$ est du type $y=\dfrac{5}{8}x+b$.
    $C \in \left(d_3\right)$ donc $-1=\dfrac{5}{8}\times (-5)+b \ssi b=\dfrac{17}{8}$.
    Par conséquent, une équation de $\left(d_3\right)$ est $y=\dfrac{5}{8}x+\dfrac{17}{8}$.
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de $\left(d_2\right)$ est $\dfrac{2}{3}$ et celui de $\left(d_3\right)$ est $\dfrac{5}{8}$.
    Puisque $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{5}{8}$, cela signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.
    2nd - DC3 - ex5cor

 

[collapse]

$\quad$