Devoir commun – fin d’année

Exercice 1 $\quad$ 10 points

La courbe ci-dessous est la représentation d’une fonction $f$ définie sur $[-1;6]$.

Partie 1

En utilisant le graphique, conjecturer les réponses aux questions suivantes :

Quelles sont les images de $0$ et $2$ par $f$?
$\quad$
Quel sont les antécédents éventuels de $-4$ par $f$?
Quels sont les antécédents éventuels de $4$ par $f$?
$\quad$
Quelles sont les solutions de l’équation $f(x)=0$?
$\quad$
Quelles sont les solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 0$?
$\quad$

Partie 2

On admet que, pour tout $x$ dans $[-1;6]$, $f(x)=-x^2+5x-4$ (forme $1$).

Justifier que, pour tout $x$ dans $[-1;6]$, on a $f(x)=(x-4)(1-x)$ (forme 2).
$\quad$
Justifier que pour, pour tout $x$ dans $[-1;6]$, on a $f(x)=\dfrac{9}{4}-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2$ (forme 3).
$\quad$
En utilisant la forme de $f(x)$ qui semble la mieux adaptée, répondre, \textbf{en justifiant}, aux questions suivantes :
a. Calculer l’image de $\sqrt{2}$ par $f$.
$\quad$
b. Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
$\quad$
c. Dresser le tableau de variations de $f$.
$\quad$

Correction Exercice 1

Partie 1

On peut lire que $f(0)= -4$ et $f(2)=2$.
$\quad$
On peut lire que les antécédents de $-4$ par $f$ sont $0$ et $5$.
$4$ n’a pas d’antécédent par $f$.
$\quad$
Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $1$ et $4$.
$\quad$
Les solutions de l’inéquation $f(x) \geqslant 0$ sont les nombres appartenant à $[1;4]$.
$\quad$

Partie 2

$(x-4)(1-x)=x-x^2-4+4x=-x^2+5x-4=f(x)$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{9}{4}-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2&=\dfrac{9}{4}-\left(x^2-5x+\dfrac{25}{4}\right) \\
&=-x^2+5x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{25}{4}\\
&=x^2+5x-4=f(x)
\end{align*}$
$\quad$
a. Pour calculer $f\left(\sqrt{2}\right)$ on va utiliser la forme 1.
$f\left(\sqrt{2}\right) = -2+5\sqrt{2}-4=-6+5\sqrt{2}$.
$\quad$
b. Pour résoudre l’inéquation $f(x)\geqslant 0$ on va utiliser la forme 2.
$f(x)\geqslant 0 \ssi (x-4)(1-x)\geqslant 0$.
$x-4=0 \ssi x=4$ $\qquad$ et $\qquad$ $x-4>0 \ssi x>4$
$1-x=0 \ssi x=1$ $\qquad$ et $\qquad$ $1-x>0 \ssi x<1$
On peut ainsi construire le tableau de signes suivant :

Par conséquent la solution de $f(x)\geqslant 0$ est $[1;4]$.
$\quad$
c. Pour déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ on va utiliser la forme 3.
Il s’agit de la forme canonique avec $a=-1$, $\alpha = \dfrac{5}{2}$ et $\beta=\dfrac{9}{4}$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :

En effet $f(-1)=-(-1)^2+5\times (-1)-4=-1-5-4=-10$
et $f(6)=-6^2+5\times 6-4=-36+30-4=-10$

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Exercice 2 $\quad$ 6 points

Pour passer l’oral de leur épreuve de langues, les élèves tirent au hasard trois cartons, un dans chacune de trois urnes.

La première urne contient les lettres “A”, “B” et “C”.
La deuxième urne contient les nombres “$25$” et “$27$”.
La troisième urne les mots “matin” et “après-midi”.

Ainsi, par exemple, le tirage $(A;25;$matin$)$ signifie que cet élève passera son oral le “$25$” juin, le “matin” et avec le sujet $A$.

Recopier et compléter l’arbre ci-dessous sur la copie afin de représenter toutes les situations possibles.
Combien y-a-t-il de possibilités au total?
$\quad$
Pour un élève,
a. Quelle est la probabilité qu’il passe le matin?
$\quad$
b. Quelle est la probabilité qu’il passe le $27$ juin?
$\quad$
c. Quelle est la probabilité qu’il soit interrogé avec le sujet B?
$\quad$
d. Quelle est la probabilité qu’il passe le matin et avec le sujet B?
$\quad$
e. Quelle est la probabilité qu’il passe le matin ou avec le sujet B?
$\quad$

Correction Exercice 2

$\quad$
Il y a donc $12$ possibilités.
a. Il y a $6$ issues pour lesquelles le candidat passera le matin. Donc la probabilité que l’élève passe son oral le matin est $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. Il y a $6$ issues pour lesquelles le candidat passera le $27$ juin. Donc la probabilité que l’élève passe son oral le $27$ juin est $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
c. Il y a $4$ issues pour lesquelles le candidat soit interrogé avec le sujet B. Donc la probabilité que l’élève passe son oral avec le sujet B est $\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
$\quad$
d. Il y a $2$ issues pour lesquelles le candidat soit interrogé le matin avec le sujet B. Donc la probabilité que l’élève passe son oral le matin avec le sujet B est $\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
$\quad$
e. Il y a $8$ issues pour lesquelles le candidat soit interrogé le matin ou avec le sujet B. Donc la probabilité que l’élève passe son oral le matin ou avec le sujet B est $\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 $\quad$ 8 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

On considère les points $A(-2,5;0,5)$, $B(-1,5;2,5)$ et $C(0,5;-1)$.

Déterminer, par le calcul, les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
$\quad$
Placer sur le repère ci-dessous, les points $D$ et $H$ tels que $\vect{AD}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}+ \dfrac{2}{3}\vect{AC}$ et $\vect{AH}=2\vect{AC}-\vect{BA}$.
On fera apparaître les traits de construction.
$\quad$
Soit $E(11;20,5)$. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CE}$ sont-ils colinéaires? Justifier.
$\quad$
Déterminer par le calcul les coordonnées du point $F$ tel que $ABCF$ soit un parallélogramme.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $G$ appartenant à la droite $(FC)$ tel que $\vect{BG}$ et $\vect{AJ}$ soient colinéaires où $J$ est le point de coordonnées $(0;1)$.
Toute trace de recherche sera prise en compte.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a $A(-2,5;0,5)$ et $B(-1,5;2,5)$ donc $\vect{AB}(-1,5+2,5;2,5-0,5)$ soit $\vect{AB}(1;2)$.
On a $A(-2,5;0,5)$ et $C(0,5;-1)$ donc $\vect{AC}(0,5+2,5;-1-0,5)$ soit $\vect{AC}(3;-1,5)$
$\quad$
$\quad$
Calculons les coordonnées du vecteur $\vect{CE}$ $(11-0,5;20,5+1)$ soit $\vect{CE}(10,5;21,5)$.
Or $\vect{AB}(1;2)$
Donc $10,5\times 2-1\times 21,5=21-21,5=0,5 \neq 0$.
Par conséquent les vecteur $\vect{AB}$ et $\vect{CE}$ ne sont pas colinéaires.
$\quad$
On veut que $ABCF$ soit un parallélogramme.
Cela signifie donc que $\vect{AB}=\vect{FC}$.
Or $\vect{FC}\left(0,5-x_F;-1-y_F\right)$ et $\vect{AB}(1;2)$.
On doit donc résoudre le système suivant :
$\begin{cases} 0,5-x_F=1\\-1-y_F=2\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} -x_F=0,5 \\-y_F=3 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_F=-0,5\\y_F=-3\end{cases}$
$\quad$
Déterminons les équations des droites $(FC)$ et $(BG)$.
Pour la droite $(FC)$ : $F$ et $C$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de la droite est donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{-3+1}{-0,5-0,5}=2$. donc une équation de $(FC)$ est $y=2x+b$
Puisque $C$ appartient à $(FC)$ on a alors $-1=2\times 0,5+b$ soit $b=-2$.
Une équation de $(FC)$ est donc $y=2x-2$
$\quad$
Pour la droite $(BG)$ : La droite $(BG)$ est parallèles $(AJ)$ car les vecteurs $\vect{BG}$ et $\vect{AJ}$ sont colinéaires. Par conséquent leur coefficient directeur sont égaux (ils existent bien car $A$ et $J$ n’ont pas la même abscisse).
$a=\dfrac{1-0,5}{0+2,5}=\dfrac{1}{5}$
Une équation de la droite $(BG)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{5}x+b$.
Le point $B$ appartient à cette droite. Par conséquent $2,5=\dfrac{1}{5}\times (-1,5)+b$ soit $b=2,5+\dfrac{3}{10}=\dfrac{14}{5}$
Une équation de $(BG)$ est donc $y=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{14}{5}$.
$\quad$
Le point $G$ appartient aux deux droites $(FC)$ et $(BG)$. Ses coordonnées sont donc solution du système suivant (les deux droites sont bien sécantes puisque les coefficients directeurs ne sont pas égaux):
$\begin{align*} \begin{cases} y=2x-2\\y=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{14}{5}\end{cases} &\ssi \begin{cases}y=2x-2\\2x-2=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{14}{5} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2x-2\\2x-\dfrac{1}{5}x=\dfrac{14}{5}+2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2x-2\\\dfrac{9}{5}x=\dfrac{24}{5}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{8}{3} \\y=\dfrac{10}{3}\end{cases} \end{align*}$
Les coordonnées du point $G$ sont donc $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4 $\quad$ 8,5 points

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la droite $\Delta$ d’équation $y=2x-1$.

Dans cet exercice, les tracés demandés seront faits dans ce même repère.

Tracer la droite $\Delta’$ d’équation $y=-6x+14$.
$\quad$
$A$ est un point de la droite $\Delta$ d’abscisse $11$. Calculer son ordonnée.
$\quad$
$B$ est un point de la droite $\Delta’$ d’ordonnée $26$. Calculer son abscisse.
$\quad$
a. Tracer la droite $(d)$ d’équation $x=3$.
$\quad$
b. Calculer les coordonnées du point $F$, point d’intersection des droites $(d)$ et $\Delta’$.
$\quad$
$(d’)$ est la droite parallèle à $\Delta$ passant par le point $G(0;-5)$.
Déterminer une équation de $(d’)$.
$\quad$
Justifier que les droites $\Delta$ et $\Delta’$ sont sécantes puis calculer les coordonnées de leur point d’intersection $K$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Si $x=1$ alors $y=-6\times 1 + 14= 8$. Le point de coordonnées $(1;8)$ appartient à $\Delta’$.
Si $x=0$ alors $y=14$. Le point de coordonnées $(0;14)$ appartient à $\Delta’$.
Si $x_A=11$ alors $y_A=2\times 11-1=21$. Donc $A(11;21)$.
$\quad$
Si $y_B=26$ alors $26=-6x_B+14$ soit $12=-6x_B$ et donc $x_B=-2$. Donc $B(-2;26)$.
a. cf figure
$\quad$
b. Le point $F$ appartient à $(d)$ donc $x_F=3$.
Le point $F$ appartient à $\Delta’$ donc $y_F=-6\times 3+14= -4$.
Ainsi $F(3;-4)$.
$\quad$
$(d’)$ et $\Delta$ sont parallèles. Elles ont donc le même coefficient directeur.
Une équation de $(d’)$ est donc de la forme $y=2x+b$.
Le point $G(0;-5)$ appartient à $(d’)$ donc $b=-5$.
Une équation de $(d’)$ est donc $y=2x-5$.
$\quad$
$\Delta$ et $\Delta’$ n’ont pas le même coefficient directeur. Ces droites sont donc sécantes.
Les coordonnées du point $K$ vérifient par conséquent le système :
$\begin{align*} \begin{cases} y=2x-1\\y=-6x+14 \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=2x-1\\2x-1=-6x+14\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=2x-1\\8x=15 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{15}{8} \\y=\dfrac{11}{4}\end{cases} \end{align*}$.
Ainsi $K\left(\dfrac{15}{8};\dfrac{11}{4}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5 $\quad$ 4,5 points

Partie A

Fabien décide d’économiser de l’argent de mars à juin pour ses prochaines vacances de juillet selon le principe suivant : en mars il décide d’économiser une certaine somme et chaque mois suivant, il double la somme qu’il a déjà mais il dépense $10$ € en frais diverses.

On donne ci-dessous un algorithme correspondant à la situation:

Variables
$\quad$ $S$ et $I$ sont des nombres
Entrée
$\quad$ Saisir $S$
Traitement
$\quad$ Pour $I$ allant de $1$ à $3$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $2S-10$
$\quad$ Fin Pour
Sortie
$\quad$ Afficher $S$

a. Que représente la variable $S$ que l’on saisit en entrée?
$\quad$
b. Que compte la variable $I$?
$\quad$
c. Que représente la variable $S$ que l’on affiche en sortie?
$\quad$
On suppose que l’on donne à $S$ la valeur $15$ en entrée. Recopier et compléter le tableau suivant et préciser la valeur affichée par l’algorithme :
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Valeur prise par } I&\text{Valeur prise par } S\\
\hline
\text{Initialisation}&\phantom{\dfrac{1}{2}}S=15\phantom{\dfrac{1}{2}}\\
\hline
I=1&\phantom{\dfrac{1}{2}}\\
\hline
I=2&\phantom{\dfrac{1}{2}}\\
\hline
I=3&\phantom{\dfrac{1}{2}}\\
\hline
\end{array}$
$\text{Affichage : }$

Partie B

Les parents de Lucie lui ont promis que si elle avait une moyenne au troisième trimestre supérieure ou égale à $13$, son argent de poche doublerait en juillet mais qu’elle aurait $10$ euros de moins qu’habituellement si sa moyenne se trouvait être inférieure à $13$.

Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche la somme touchée par Lucie au mois de juillet :

Variables
$\quad $ $A$ et $M$ sont des nombres
Début de l’algorithme
$\quad$ Afficher “Saisir la moyenne de Lucie.”
$\quad$ Saisir $M$
$\quad$ Afficher “Saisir la somme touchée habituellement par Lucie.”
$\quad$ Saisir $A$
$\quad$ Si $\ldots\ldots\ldots\ldots$
$\qquad$ Alors $A$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots\ldots$
$\qquad$ Sinon $A$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Si
$\quad$ Afficher $A$
Fin de l’algorithme
$\quad$

Correction Exercice 5

Partie A

a. $S$ représente la somme sur Fabien dépose en mars.
$\quad$
b. $I$ compte le passage au mois suivant.
$\quad$
c. La variable $S$, en sortie, correspond à la somme économisée par Fabien fin juin.
$\quad$
$\quad$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Valeur prise par } I&\text{Valeur prise par } S\\
\hline
\text{Initialisation}&\phantom{\dfrac{1}{2}}S=15\phantom{\dfrac{1}{2}}\\
\hline
I=1&20\\
\hline
I=2&30\\
\hline
I=3&50\\
\hline
\end{array}$
$\text{Affichage : } 50$

Partie B

Variables
$\quad $ $A$ et $M$ sont des nombres
Début de l’algorithme
$\quad$ Afficher “Saisir la moyenne de Lucie.”
$\quad$ Saisir $M$
$\quad$ Afficher “Saisir la somme touchée habituellement par Lucie.”
$\quad$ Saisir $A$
$\quad$ Si $M<13$
$\qquad$ Alors $A$ prend la valeur $A-10$
$\qquad$ Sinon $A$ prend la valeur $2A$
$\quad$ Fin Si
$\quad$ Afficher $A$
Fin de l’algorithme

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$\quad$

Exercice 6 $\quad$ 3 points

On considère un carré de $6$ cm de côté. On dessine une croix à l’intérieure en retirant, à chaque coin, un carré de côté $x$.
Déterminer la valeur de $x$ pour que l’aire de la partie retirée soit égale au tiers de l’aire de la croix.

Rédiger soigneusement la réponse. Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

Correction Exercice 6

L’aire de chaque petit carré est $\mathscr{A}_1=x^2$. L’aire de tous les coins est donc $\mathscr{A}_2=4x^2$.
L’aire de la croix est par conséquent $\mathscr{A}_3=6^2-4x^2=36-4x^2$.

On veut déterminer la valeur de $x$ telle que :
$\begin{align*} 4x^2=\dfrac{1}{3}\left(36-4x^2\right) &\ssi 12x^2=36-4x^2 \\
&\ssi 16x^2=36 \\
&\ssi x^2=\dfrac{9}{4} \\
&\ssi x=\dfrac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x=-\dfrac{3}{2}
\end{align*}$

Une longueur étant toujours positive, on ne peut donc avoir que $x=\dfrac{3}{2}$ cm.

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