2nd – Devoir commun 5 (janvier)

Exercice 1 $\quad$ 6 points

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-5x+6$.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : étude graphique

  1. Représenter graphiquement sur le graphique précédent la fonction $g$ définie $g(x)=-2x+6$.
    Justifier le tracé.
  2. Résoudre graphiquement $f(x)=g(x)$ et $f(x)<g(x)$.

Partie B : par le calcul

  1. a. Montrer que $f(x)=(x-2)(x-3)$.
    b. En déduire les antécédents de $0$ par la fonction $f$.
  2. Le point $A\left(4,5;\dfrac{15}{4}\right)$ appartient-il à la courbe représentant la fonction $f$?Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A: étude graphique

  1. La fonction $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    $g(-3)=-2\times (-3)+6=6+6=12$. La droite passe donc par le point de coordonnées $(-3;12)$.
    $g(2)=-2\times 2+6=-4+6=2$. La droite passe donc par le point de coordonnées $(2;2)$.
  2. Graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont $0$ et $3$, abscisses des points d’intersection des deux courbes.
    $\quad$
    Graphiquement, la solution de l’inéquation $f(x)<g(x)$ est $]0;3[$.

Partie B: par le calcul

  1. a. $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6=f(x)$.
    $\quad$
    b.  Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont les réels $x$ solutions de l’équation $f(x)=0$. Ce sont donc ceux solutions de l’équation $(x-2)(x-3)=0$.
    Il s’agit d’une équation produit.
    Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Par conséquent:
    $f(x)=0 \ssi x-2=0$ ou $x-3=0$
    $\phantom{f(x)=0} \ssi x=2$ ou $x=3$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $2$ et $3$.
  2. $f(4,5)=4,5^2-5\times 4,5+6=20,25-22,25+6=3,75= \dfrac{15}{4}$.
    Le point $A\left(4,5;\dfrac{15}{4}\right)$ appartient donc à la courbe représentant la fonction $f$.

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$\quad$

Exercice 2 $\quad$ 7 points

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$, définie sur l’intervalle $[-7;6]$, dans un repère orthonormé.

  1. Utiliser ce graphique pour déterminer les valeurs exactes ou approchées (à $0,1$ près) :
    a. des images de $1$ et $4$ par la fonction $f$.
    b. des antécédents de $-1$ et $0$ par la fonction $f$.
  2. a. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=1$.
    b. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)>0$.
  3. a. Dresser, à l’aide du graphique, le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-7;6]$.
    b. Déterminer les extremum de $f$ sur l’intervalle $[-7;3]$. Préciser en quels points ils sont atteints.
    c. Comparer les nombres $f\left(-\dfrac{13}{3}\right)$ et $f(-3,5)$.

$\quad$

Correction Exercice 2
  1. a. L’image de $1$ par la fonction $f$ est $-2$.
    L’image de $4$ par la fonction $f$ est environ $1,6$.
    $\quad$
    b. Les antécédents de $-1$ par la fonction $f$ sont environ $-4,2$; $-0,2$ et $2,3$.
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont environ $-4$; $-1$ et $3$.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=1$ sont $-3,7$; $-1,8$ et $3,7$.
    $\quad$
    b. Graphiquement la solution de l’inéquation $f(x)>0$ est $]-4;-1[\cup]3;6]$.
    $\quad$
  3. a. A l’aide du graphique on obtient le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    b. La fonction $f$ admet sur l’intervalle $[-7;3]$ :
    $\bullet$ un minimum, $-5$, atteint pour $x=-5$;
    $\bullet$ un maximum, $2$, atteint pour $x=-3$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-5;-3]$. Or $-5<-\dfrac{13}{3}<-3,5<-3$.
    Par conséquent $f\left(-\dfrac{13}{3}\right)<f(-3,5)$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 $\quad$ 9 points

  1. Déterminer graphiquement les équations des droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$.
  2. On considère la droite $\Delta$ d’équation $y=-4x+1$.
    a. Le point $A(-5;20)$ appartient-il à la droite $\Delta$? Justifier.
    b. Représenter la droite $\Delta$ sur le graphique.
    c. On considère la droite $\Delta’$ d’équation $y=7-2x$.
    Après avoir montrer que les droites $\Delta$ et $\Delta’$ sont sécantes déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
  3. On considère les points $B(4;6)$ et $C(-1;3)$.
    Déterminer l’équation de la droite $(BC)$.
  4. On considère la droite $d$ d’équation $y=3x+2$.
    Déterminer l’équation de la droite $d’$ parallèle à la droite $d$ passant par le point $D(4;6)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Une équation de la droite $d_1$ est $y=3$.
    Une équation de la droite $d_2$ est $x=4$.
    Une équation de la droite $d_3$ est $y=2x+4$. Le coefficient directeur est donné par $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{1}=2$.
    $\quad$
  2. a. $-4\times (-5)+1=20+1=21\neq 20$. Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Si $x=-1$ alors $y=-4\times (-1)+1=5$.
    Si $x=2$ alors $y=-4 \times 2+1=-7$.
    La droite $\Delta$ passe donc par les points de coordonnées $(-1;5)$ et $(2;-7)$.
    $\quad$
    c. 
    Les coefficients directeurs des droites $\Delta$ et $\Delta’$ sont respectivement $-4$ et $-2$. Puisqu’ils sont différents les deux droites sont sécantes.
    Les coordonnées du point d’intersection sont solutions du système
    $\begin{align*}
    \begin{cases} y=-4x+1\\y=7-2x \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-4x+1 \\-4x+1=7-2x \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-4x+1\\-6=2x\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3 \\y=-4\times (-3)+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3\\y=13\end{cases} \end{align*}$
    Les coordonnées du point d’intersection sont $(-3;13)$.
    $\quad$
  3. Les points $B$ et $C$ n’ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite $(BC)$ est de la forme $y=ax+b$.
    On a $a=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{3-6}{-1-4}=\dfrac{3}{5}$.
    Ainsi une équation de la droite $(BC)$ est de la forme $y=\dfrac{3}{5}x+b$.
    Le point $C(-1;3)$ appartient à la droite $(BC)$. Ses coordonnées vérifient donc son équation.
    Donc $3=\dfrac{3}{5}\times (-1)+b \ssi 3=-\dfrac{3}{5}+b \ssi b=\dfrac{18}{5}$.
    On en déduit donc qu’une équation de la droite $(BC)$ est $y=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{18}{5}$.
    $\quad$
  4. Les droites $(d)$ et $d’$ sont parallèles; elles ont donc le même coefficient directeur. Une équation de la droite $d’$ est par conséquent de la forme $y=3x+b$.
    Le point $D(4;6)$ appartient à la droite $d’$. Ses coordonnées vérifient alors son équation.
    $6=3\times 4+b\ssi 6=12+b \ssi b=-6$.
    Une équation de la droite $d’$ est donc $y=3x-6$.
    $\quad$

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$\quad$
Exercice 4 $\quad$ 8 points

Une conserverie alimentaire fabrique des boîtes de légumes. Afin de vérifier l’état de fonctionnement de la chaîne de remplissage, on a pesé un lot de $150$ boîtes de conserves :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Masse en g.}&995&996&997&998&999&1~000&1~001&1~002&1~003&1~004&1~005\\
\hline
\textbf{Nombres de boîtes}&3&4&26&17&14&35&20&15&14&1&1\\
\hline
\textbf{Effectifs cumulés croissants}&\phantom{\dfrac{1}{2}}&&&&&&&&&& \\
\hline
\end{array}$

  1. Compléter le tableau.
  2. Quelle est l’étendue de cette série?
  3. Déterminer, en justifiant, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série.
  4. Présenter le calcul de la masse moyenne et donner le résultat.
  5. Quel pourcentage des boîtes a une masse dans l’intervalle $[998,1~002]$?
  6. On considère que la chaîne fonctionne correctement si l’écart entre la moyenne et $1~000$ est inférieur à $0,5$ et si le pourcentage de boîtes ayant une masse en dehors de l’intervalle $[998,1~002]$ est strictement inférieur à $20\%$.
    La chaîne de remplissage fonctionne-t-elle correctement?
  7. Un autre échantillon de $250$ boîtes est testé. Sa masse moyenne est de $999,75$ g.
    Quelle est la masse moyenne des $400$ boîtes testées?

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Masse en g.}&995&996&997&998&999&1~000&1~001&1~002&1~003&1~004&1~005\\
    \hline
    \textbf{Nombres de boîtes}&3&4&26&17&14&35&20&15&14&1&1\\
    \hline
    \textbf{Effectifs cumulés croissants}&3&7&33&50&64&99&119&134&148&149&150 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. L’étendue de la série est $e=1~005-995=10$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{150}{2}=75$. La médiane est donc la moyenne entre la $75^{\text{ème}}$ et la $76^{\text{ème}}$ valeur de la série.
    Ainsi la médiane est $m=\dfrac{1~000+1~000}{2}=1~000$.
    $\quad$
    $\dfrac{150}{4}=37,5$. Le premier quartile est donc la $38^{\text{ème}}$ valeur. Donc $Q_1=998$.
    $\quad$
    $\dfrac{3\times 150}{4}=112,5$. Le premier quartile est donc la $113^{\text{ème}}$ valeur. Donc $Q_3=1~001$.
    $\quad$
  4. La moyenne de la série est donnée par $$\overline{x}=\dfrac{995\times 3+996\times 4+\ldots+1~005\times 1}{100}=\dfrac{149~944}{150}\approx 999,63$$
    $\quad$
  5. $17+14+35+20+15=101$. $101$ boîtes, sur les $150$ boîtes du lot, ont une masse appartenant à l’intervalle $[998,1~002]$.
    Environ $67,33\%$ des boîtes ont donc une masse dans l’intervalle $[998;1~002]$.
  6. $1~000-999,63=0,37<0,5$.
    $100-67,33=32,67$.
    Environ $32,67\%$ des boîtes du lot ont une masse en dehors de l’intervalle $[998;1~002]$. La chaîne de remplissage ne fonctionne donc pas correctement. \item La moyenne de l’ensemble des boîtes est : $$M=\dfrac{250\times 999,75+150\times 999,63}{400}=999,705$$

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$\quad$
Exercice 5 $\quad$ 4 points

Une famille souhaite construire une maison sur un terrain de forme rectangulaire de $750$ m$^2$ selon le plan ci-dessous.

$ABCD$ est un carré et $EFGH$ est un rectangle.

Déterminer les dimensions de la maison pour que la surface du jardin soit $7$ fois plus grande que la surface au sol de la maison.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $x$ la longueur, en mètres, de la maison.
La surface de la maison est donc de $x^2$ m$^2$.
La surface du jardin est alors de $750-x^2$.
On souhaite donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} 7x^2=750-x^2 &\ssi 8x^2=750 \\ &\ssi x^2=\dfrac{750}{8} \\ &\ssi x^2=93,75 \\ &\ssi x=\sqrt{93,75} \text{ ou } x=-\sqrt{93,75} \end{align*}$
Une longueur est nécessairement positive.
Par conséquent $x=\sqrt{93,75}$.
La maison est donc un carré de longueur $\sqrt{93,75}$ m.

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$\quad$

 

Exercice 6 $\quad$ 6 points

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ (unité: le cm), on définit les points suivants :
$$ K(3,5;5) \quad L(2,5;-2,5) \quad M(-5;-1,5) \quad N(-4;6)$$

  1. Placer les points dans le repère $(O;I,J)$.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère $KLMN$? Justifier la réponse.
  3. Déterminer les coordonnées du point $P$ pour que le quadrilatère $KPLN$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 6
  1. $\quad$
  2. Déterminons les coordonnées des points $Q$ et $R$ respectivement milieux des segments $[KM]$ et $[NL]$.
    $x_Q=\dfrac{x_K+x_M}{2}=\dfrac{3,5+(-5)}{2}=-0,75$
    $y_Q=\dfrac{y_K+y_M}{2}=\dfrac{5+(-1,5)}{2}=1,75$.
    $\quad$
    $x_R=\dfrac{-4+2,5}{2}=-0,75$
    $y_R=\dfrac{6+(-2,5)}{2}=1,75$
    Les diagonales du quadrilatère $KLMN$ se coupent donc en leur milieu: c’est un parallélogramme.
    $\quad$
    $KL^2=\left(x_L-x_K\right)^2+\left(y_L-y_K\right)^2=\left(2,5-3,5\right)^2+(-2,5-5)^2=57,25$.
    Donc $KL=\sqrt{57,25}$.
    $KN^2=\left(x_N-x_K\right)^2+\left(y_N-y_K\right)^2=\left(-4-3,5\right)^2+(6-5)^2=57,25$.
    Donc $KN=\sqrt{57,25}$.
    Deux côtés consécutifs du parallélogramme $KLMN$ ont la même longueur: c’est un losange.
    $\quad$
    $NL^2=\left(x_L-x_N\right)^2+\left(y_L-y_N\right)^2=\left(2,5-(-4)\right)^2+\left(-2,5-6\right)^2=114,5$.
    Dans le triangle $KLN$, le plus grand côté est $[NL]$.
    D’une part $NL^2=114,5$
    D’autre part $KL^2+KN^2=57,25+57,25=114,5$
    Donc $NL^2=KL^2+KN^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $KLN$ est rectangle en $K$.
    Le losange $KLMN$ possède un angle droit : c’est un carré.
    $\quad$
  3. $KPLN$ est un parallélogramme. Ses diagonales se croisent donc en leur milieu.
    On appelle $S$ le milieu du segment $[KL]$.
    $x_S=\dfrac{x_K+x_L}{2}=\dfrac{3,5+2,5}{2}=3$
    $y_S=\dfrac{y_K+y_L}{2}=\dfrac{-2,5+5}{2}=1,25$
    $\quad$
    $S$ est également le milieu du segment $[PN]$.
    Par conséquent :
    $3=\dfrac{x_P+(-4)}{2} \ssi 6=x_P-4 \ssi x_P=10$
    et
    $1,25=\dfrac{y_P+6}{2}\ssi 2,5=y_P+6 \ssi y_P=-3,5$.
    Les coordonnées du point $P$ sont donc $(10;-3,5)$.

    [collapse]