Exercice 1   (8 points)

Une entreprise possède trois usines de fabrications de composants :

• la première se trouve en France;
• la deuxième se trouve au Maroc;
• la troisième se trouve en Inde.

Un contrôleur de qualité s’intéresse au nombre de composants produits en janvier 2018 dans chacune des trois usines.
Il a relevé les données suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{2mm}\text{Défecteux}\hspace{2mm}&\text{En bon état}&\hspace{4mm}\text{TOTAL}\hspace{4mm} \\
\hline
\text{Usine de France}&1~600&\phantom{\dfrac{1}{1}}&33~600\\
\hline
\text{Usine du Maroc}&\phantom{\dfrac{1}{1}}&&12~660\\
\hline
\text{Usine d’Inde}&1~540&\phantom{\dfrac{1}{1}}&\\
\hline
\text{TOTAL}&3~800&\phantom{\dfrac{1}{1}}&82~800\\
\hline
\end{array}$$

1. Compléter le tableau ci-dessus.
   $\quad$
2. On prend un composant au hasard dans la production de janvier 2018. On considère les événements suivants :
   $\bullet$ $F$ “le composant provient de l’usine de France”;
   $\bullet$ $M$ “le composant provient de l’usine du Maroc”;
   $\bullet$ $I$ “le composant provient de l’usine d’Inde”;
   $\bullet$ $D$ “le composant est défectueux”.
   $\quad$
   a. Calculer $P(F)$ et $P(D)$.
   $\quad$
   b. Définir par une phrase l’événement $F\cap D$ puis calculer sa probabilité.
   $\quad$
   c. Définir par une phrase l’événement $F\cup D$ puis calculer sa probabilité.
   $\quad$
   d. Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production? Justifier la réponse.
   $\quad$

Exercice 2    (8,5 points)

Partie A 

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points $A(-1;5)$, $B(6;1)$ et $C(1;-3)$.

1. Placer les points dans le repère ci-dessous. La figure sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
   $\quad$
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
   $\quad$
3. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
   $\quad$
4. Soit $E(2;-5)$. Les points $A,C$ et $E$ sont-ils alignés? Justifier.
   $\quad$
5. Placer sur la figure le point $F$ tel que $\vect{AF}=\vect{BC}+2\vect{CE}$.

$\quad$

Partie B

On considère l’algorithme suivant (en langage naturel et en langage Python) :

En langage naturel

Lire $a$
Lire $b$
Lire $c$
Lire $d$
$\quad$ Si $a\times d-b\times c=0$ alor
$\qquad$ Afficher “Vrai”
$\quad$ Sinon
$\qquad$ Afficher “Faux”
$\quad$

En Python

def algorithme(a,b,c,d):
$\quad$ if a * d – b * c == 0:
$\qquad$ return(“Vrai”)
$\quad$ else:
$\qquad$ return(“Faux”)
$\quad$

1. $a$ et $b$ correspondent aux coordonnées du vecteur $\vec{u}$ et $c$ et $d$ aux coordonnées du vecteur $\vec{v}$. Qu’affiche l’algorithme dans les cas suivants?
   a. $\vec{u}(24;-32)$ et $\vec{v}(-42;56)$.
   $\quad$
   b. $\vec{u}(-15;25)$ et $\vec{v}(-6;9)$
   $\quad$
2. Dans le contexte des vecteurs, expliquer le rôle de l’algorithme.
   $\quad$

Exercice 3    (10,5 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-10$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=\dfrac{1}{10}x^2-4x+30$.
   $\quad$
2. Déterminer, en justifiant, le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
   $\quad$
3. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=\left(\dfrac{1}{10}x-1\right)(x-30)$.
   $\quad$
4. En déduire le tableau de signe de $f$ sur $\R$.% et les antécédents de $0$ par $f$.
   $\quad$

Partie B

Un cormoran situé au point $C(0;30)$ pêche un poisson situé au point $P(20;-10)$ puis remonte sur une falaise au point $F(40;30)$ en suivant la trajectoire parabolique décrite par la fonction $f$ dans le repère ci-dessous :

 

$\quad$

1. Expliquer en justifiant que les points $C$ et $F$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$.
   $\quad$
2. À l’aide la partie A, répondre aux questions suivantes :
   a. Donner les coordonnées des deux points où le cormoran entre et sort de l’eau.
   $\quad$
   b. Donner les valeurs de $x$ pour lesquelles le cormoran est sous l’eau.
   $\quad$

Exercice 4    (8,5 points)

Pour les élèves demandant à aller en 1S

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

 

1. Donner, sans justifier, l’équation de chacune des droites.
   $\quad$
2. Tracer sur le graphique les droites $d_4$ et $d_5$ d’équations respectives : $y=2x+2$ et $y=4-3x$.
   $\quad$
3. On considère les points $A(30;5)$ et $B(6;-3)$. (On ne demande pas de les placer).
   Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
   $\quad$

Partie B

Sur la figure ci-dessous sont représentées :

• $\mathscr{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$;
• $\left(d_1\right)$, la droite d’équation $y=\dfrac{15}{8}x$;
• $\left(d_2\right)$, la droite d’équation $y=-\dfrac{17}{8}x+8$.

 

$\mathscr{C}_f$, $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ semblent avoir un point d’intersection commun. Est-ce la cas? Justifier.

$\quad$

Exercice 5    (4,5 points)

Pour les élèves demandant à aller en 1S

“Si je roule à $90$ km/h, j’arriverai à midi mais si je roule à $65$ km/h j’arriverai alors à $13$h”.
Déterminer l’heure de départ ainsi que le nombre de kilomètres à parcourir.

Indication : on rappelle la formule $v=\dfrac{d}{t}$ qui lie la vitesse $v$ (en km/h), le temps $t$ (en h) et la distance $d$ parcourue (en km).

$\quad$

Exercice 4    (8,5 points)

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

1. Donner, sans justifier, l’équation de chacune des droites. $\quad$
2. a. Tracer sur le graphique les droites $d_4$ et $d_5$ d’équations respectives : $y=2x+2$ et $y=4-3x$.
   $\quad$
   b. Expliquer pourquoi les droites $d_4$ et $d_5$ sont sécantes et déterminer, en justifiant, les coordonnées de leur point d’intersection.
3. On considère les points $A(30;5)$ et $B(6;-3)$. (On ne demande pas de les placer).
   Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
   $\quad$

Exercice 5    (4,5 points)

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

Dans un cinéma, la place coûte $9,80$ €. Si l’on prend un abonnement annuel à $30$ €, on paie la place au tarif réduit de $5,50$ €. À partir de combien de films visionnés dans l’année l’abonnement est-il plus avantageux?

$\quad$

Exercice 1

1. On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   &\hspace{2mm}\text{Défecteux}\hspace{2mm}&\text{En bon état}&\hspace{4mm}\text{TOTAL}\hspace{4mm} \\
   \hline
   \text{Usine de France}&1~600&\color{red}{32~000}&33~600\\
   \hline
   \text{Usine du Maroc}&\color{red}{660}&\color{red}{12~000}&12~660\\
   \hline
   \text{Usine d’Inde}&1~540&\color{red}{35~000}&\color{red}{36~540}\\
   \hline
   \text{TOTAL}&3~800&\color{red}{79~000}&82~800\\
   \hline
   \end{array}$$$\quad$
2. a. La situation précédente étant une situation d’équiprobabilité, on obtient
   $P(F)=\dfrac{33~600}{82~800}=\dfrac{28}{69}$ et $P(D)=\dfrac{3~800}{82~800}=\dfrac{19}{414}$.
   $\quad$
   b. $F\cap D$ correspond à l’événement “le composant vient de France et est défectueux” et
   $P(F\cap D)=\dfrac{1~600}{82~800}=\dfrac{4}{207}$.
   $\quad$
   c. $F\cup D$ correspond à l’événement “le composant vient de France ou est défectueux” et
   $\begin{align*} P(F\cup D)&=P(F)+P(D)-P(F\cap D)\\
   &=\dfrac{33~600+3~800-1~600}{82~800} \\
   &=\dfrac{35~800}{82~800}\\
   &=\dfrac{179}{414}
   \end{align*}$.
   $\quad$
   d. On calcule les ratios “nombre de composants en bon état” / “nombre total de composants” pour les trois pays.
   Pour la France, on obtient $\dfrac{32~000}{33600}\approx 0,952$ .
   Pour le Maroc, $\dfrac{12~000}{12~660}\approx 0,948$.
   Et pour l’Inde, $\dfrac{35~000}{36~540}\approx 0,958$.
   L’usine la plus efficace, en terme de qualité de production, semble être celle se situant en Inde.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A 

1. $\quad$
   $\quad$
2. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6-(-1)\\1-5\end{pmatrix}$ donc $\vect{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vect{AB}=\vect{DC}$. Or
   $\vect{DC}\begin{pmatrix}1-x_D\\-3-y_D\end{pmatrix}$.
   Donc on obtient $1-x_D=7$ et $-3-y_D=-4$,
   soit$x_D=-6$ et $y_D=1$. Donc $D(-6;1)$.
   $\quad$
4. $\vect{AE}\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}$. On cherche à savoir s’il existe un nombre réel $t$ tel que $\vect{AE}=t\vect{AB}$, c’est-à-dire $3=7t$ et $-10=-4t$.
   Or $\dfrac{3}{7}\neq2,5$ donc il n’existe pas un tel $t$. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points ne sont pas alignés.
   $\quad$
5. (voir figure)

$\quad$

Partie B

1. a. $24\times56-(-32)\times(-42)=0$, donc le programme affiche “vrai”.
   $\quad$
   b. $-15\times9-25\times(-6)=15$ donc le programme affiche “faux”.
   $\quad$
2. Cet algorithme teste si les vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ sont colinéaires.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-10$.

1. $f(x)=\dfrac{1}{10}(x^2-40x+400)-10=\dfrac{1}{10}x^2-4x+40-10=\dfrac{1}{10}x^2-4x+30$.
   $\quad$
2. $1^{\text{ère}}$ méthode : On reconnait une fonction polynôme de degré $2$ sous sa forme canonique :
   on en déduit directement les coordonnées du sommet de la parabole : $(20;-10)$.
   Le coefficient $a=\dfrac{1}{10}$ devant la parenthèse étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   $2^{\text{ème}}$ méthode : On reconnait une fonction polynôme de degré $2$ sous sa forme développée pour laquelle $a=\dfrac{1}{10}$, $b=-4$ et $c=30$. L’abscisse du sommet est $\dfrac{-b}{2a}=20$ et l’ordonnée du sommet vaut $f(20)=-10$.
   Le coefficient $a$ étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant :
   $\quad$
3. $\left(\dfrac{1}{10}x-1\right)(x-30)=\dfrac{1}{10}x^2-3x-x+30=f(x)$.
   $\quad$
4. On étudie le signe de chaque facteur :
   $\dfrac{1}{10}x-1\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant10$ et $\dfrac{1}{10}x-1=0\Leftrightarrow x=10$ ;
   $x-30\geqslant0\Leftrightarrow x\geqslant 30$ et $x-30=0\Leftrightarrow x=30$ ;
   On obtient donc le tableau de signe ci-dessous :

$\quad$

Partie B

1. Le point $C(0;30)$ appartient à la parabole représentant $f$ car
   $f(x_C)=f(0)=\dfrac{1}{10}\times0^2-4\times0+30=30=y_C$.
   De même, le point $F(40;30)$ appartient à cette courbe car
   $f(x_F)=f(40)=\dfrac{1}{10}(40-20)^2-10=\dfrac{1}{10}\times400-10=40-10=30=y_F$.
   $\quad$
2. a. Le cormoran entre et sort de l’eau aux points de la courbe d’ordonnée $0$, qui ont pour abscisse respective $10$ et $30$.
   $\quad$
   b. Le cormoran est finalement sous l’eau pour $x\in[10;30]$.
   $\quad$

Exercice 4

Pour les élèves demandant à aller en 1S

Partie A

1. $(d_1) : x=-3 $ ; $(d_2) : y=2x-1$ et $(d_3) \ y=-\dfrac{5}{3}x-1$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
   $\quad$
3. $x_A=30\neq6=x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation du type $y=mx+p$. Le coefficient directeur $m$ est donné par :
   $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-5}{6-30}=\dfrac{-8}{-24}=\dfrac{1}{3}$$
   Donc $(AB) : y=\dfrac{1}{3}x+p$.
   Pour déterminer $p$, on teste par exemple l’équation avec les coordonnées du point $A$ et on obtient :
   $y_A=\dfrac{1}{3}x_A+p$ $\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{3}\times30+p$ $\Leftrightarrow p=-5$.
   Au final, l’équation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{1}{3}x-5$.
   $\quad$

Partie B

Les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ n’ont pas le même coefficient directeur$\ $; on calcule dans un premier temps les coordonnées du point d’intersection $M(x_M;y_M)$ de ces deux droites. Ces deux coordonnées satisfont le système

$$\begin{align*} (S) : \left\{\begin{array}{ll}  y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ y_M&=-\dfrac{17}{8}x_M+8\\ \end{array}\right.&\ssi \left\{\begin{array}{ll}  y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ \dfrac{15}{8}x_M&=-\dfrac{17}{8}x_M+8\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ 4x_M&=8\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_M&=\dfrac{15}{4}\\ x_M&=2\\ \end{array}\right.\end{align*}$$

Mais $f(2)=4\neq\dfrac{15}{4}$, donc cet unique point d’intersection des deux droites n’appartient pas à la parabole représentant $f$ : ces trois courbes n’ont donc pas de point d’intersection commun.

$\quad$

Exercice 5

Pour les élèves demandant à aller en 1S

On note $t$ la durée du parcours (exprimée en heures) et $d$ la distance parcourue (exprimée en km).
À $90$ km$/$h, l’égalité rappelée dans l’énoncé donne $90=\dfrac{d}{t}$, ce qui équivaut à $90t=d$.
À $65$ km$/$h, le trajet dure une heure de plus, donc $65=\dfrac{d}{t+1}$, ce qui équivaut à $65(t+1)=d$. On résout le système :
$$\begin{align*}
(S) : \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ d&=65(t+1)\\ \end{array}\right. &\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ 90t&=65(t+1)\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ 25t&=65\\ \end{array}\right.\\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=234\\ t&=2,6\\ \end{array}\right.\end{align*}$$
$0,6$h correspondant à $0,6\times60=36$ minutes, l’heure de départ est donc $9\text{h}24$ et la distance parcourue s’élève à $234$ km.
$\quad$

Exercice 4

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

1. $(d_1) : x=-3\$ ; $(d_2) : y=2x-1$ et $(d_3) : y=-\dfrac{5}{3}x-1$.
   $\quad$
2. a.
   
   $\quad$
   b. Le coefficient directeur de $(d_4)$ vaut $2$ et celui de $(d_5)$ vaut $-3$ : ces deux nombres étant différents, les droites sont sécantes. Notons $G(x_G;y_G)$ leur point d’intersection. Ses coordonnées vérifient :
   $$\begin{align*} (S): \left\{\begin{array}{ll}y_G&=2x_G+2\\y_G&=4-3x_G\\\end{array}\right. &\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_G&=2x_G+2\\2x_G+2&=4-3x_G\\\end{array}\right.\\
   &\ssi \left\{\begin{array}{ll}y_G&=2x_G+2\\5x_G&=2\\\end{array}\right. \\
   &\ssi \left\{\begin{array}{ll}y_G&=\dfrac{14}{5}\\x_G&=\dfrac{2}{5}\\\end{array}\right. \end{align*}$$
   $\quad$
3. $x_A=30\neq6=x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation du type $y=mx+p$. Le coefficient directeur $m$ est donné par
   $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-5}{6-30}=\dfrac{-8}{-24}=\dfrac{1}{3}.$$
   Donc $(AB) : y=\dfrac{1}{3}x+p$.
   Pour déterminer $p$, on teste par exemple l’équation avec les coordonnées du point $A$ et on obtient :
   $y_A=\dfrac{1}{3}x_A+p\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{3}\times30+p\Leftrightarrow p=-5$.
   Au final, l’équation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{1}{3}x-5$.
   $\quad$

Exercice 5

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

Notons $x$ le nombre de films visionnés en une année. Alors, avec le tarif sans abonnement, on paie $9,8x$ euros pour voir ces $x$ films. Avec l’abonnement, on paie $30+5,5x$ euros. On cherche à savoir pour quelles valeurs de $x$ on a $30+5,5x\leqslant9,8x$.
On résout cette inéquation :
$30+5,5x\leqslant9,8x\Leftrightarrow30\leqslant4,3x\Leftrightarrow\dfrac{30}{4,3}\leqslant x$.
Or $\dfrac{30}{4,3}\approx6,98$ et $x$ ne prend que des valeurs entières, donc le tarif avec abonnement est avantageux à partir de $7$ films visionnés dans l’année.
$\quad$