2nd – devoir commun – janvier 2018

Devoir commun de mathématiques

Janvier 2018

Énoncé

Exercice 1     10 points

Le dessin ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$. Si les réponses ne sont pas des nombres entiers, vous arrondissez au dixième qui vous semble le plus proche.

 

  1. Quel est le domaine de définition de $f$?
    $\quad$
  2. Quelle est l’image de $-2$ par $f$?
    $\quad$
  3. Quels sont les antécédents de $1$ par $f$?
    $\quad$
  4. A combien est égal $f(1)$?
    $\quad$
  5. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=-1$.
    $\quad$
  6. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)< 1$.
    $\quad$
  7. Dresser le tableau de variation de $f$ sur son domaine de définition.
    $\quad$
  8. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur son domaine de définition.
    $\quad$
  9. Compléter les affirmations suivantes:
    a. Si $-3 \pp a \pp b \pp -1$ alors $f(a) \dots \dots \dots f(b)$;
    $\quad$
    b. Si $x \pp -3$ alors $f(x) \pp \dots \dots \dots $;
    $\quad$
    c. Si $ -1 \pp x \pp 6$ alors $ \dots \dots \dots \pp f(x) \pp \dots \dots \dots $.
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2     7 points

Nous avons relevé les temps de parcours de navigateurs de la Route du Rhum et du Vendée Globe dans les tableaux ci dessous.

Podiums de la Route du Rhum :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Jours} &7 &8 &9 &10 &12 &13 &14 &15 &16 &17 &18 &23 \\
\hline
\text{Nombre de navigateurs} &2 &4 &2 &1 &3 &2 &7 &1 &1 &1 &3 &3 \\
\hline
\end{array}$

Vendée Globe :

$\small\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Jours} & [70;80[& [80;90[ &[90;100[ &[100;110[ &[110;120[ &[120;130[ &[130;140[ &[140;150[&[150;170[ \\
\hline
\text{Navigateurs} &4 &8 &15 &11 &17 &10 &3 &1 &3 \\
\hline
\end{array}$

  1. La route du Rhum :
    a. 
    Déterminer l’effectif total de la série statistique des temps de parcours des navigateurs présents sur un podium de la Route du Rhum.
    $\quad$
    b. Déterminer, en justifiant, la médiane et les quartiles des temps de parcours des navigateurs présents sur un podium de la Route du Rhum.
    $\quad$
    c. Déterminer, en justifiant, la moyenne des temps de parcours des navigateurs présents sur un podium de la Route du Rhum.
    $\quad$
  2. Le Vendée Globe :
    a. 
    Déterminer, en justifiant, une estimation au centième de la moyenne des temps de parcours des navigateurs du Vendée Globe.
    $\quad$
    b. En utilisant la courbe ou le tableau des fréquences cumulées croissantes, estimer la valeur de la médiane et des quartiles.
    Tableau des fréquences cumulées croissantes (arrondies à l’unité) :
    $\small
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Jours} & [70;80[& [80;90[ &[90;100[ &[100;110[ &[110;120[ &[120;130[ &[130;140[ &[140;150[&[150;170[ \\
    \hline
    \text{Fréquences} & & & & & & & & & \\
    \text{cumulées} & 6\%&17\% &38\% &53\% &77\% &91\% &95\% &96\% &100\% \\
    \text{croissantes}& & & & & & & & & \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Courbes des fréquences cumulées croissantes :

$\quad$

Exercice 3     6 points

Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d’un triangle équilatéral de côté 6 cm.

  1. Déterminer la longueur du côté des petits triangles si la somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l’hexagone gris restant.
    $\quad$
  2. Déterminer la longueur du côté des petits triangles si la somme des aires des trois petits triangles est égale à l’aire de l’hexagone gris restant.
    On rappelle que l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.
    $\quad$

Exercice 4     9 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{-7+(2x-3)^2-(4+2x)^2}{14}$ et $g(x)=x^2-10x+11$.

  1. Étude de la fonction $f$ :
    a. Démontrer que pour tout réel $x$, $f(x)=-2x-1$.
    $\quad$
    b. En déduire la nature de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’antécédent de $\dfrac{1}{4}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    d. Déterminer les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
    e. Déterminer le tableau de signe de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Étude de la fonction $g$ :
    a. Déterminer l’image exacte de $\dfrac{4}{3}$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout réel $x$, $g(x)=\left(x-3\right) \left(x-7 \right)-10 $.
    $\quad$
    c. En déduire les antécédents de $-10$ par la fonction $g$.
    $\quad$

Exercice 5     8 points

Soient $A(0;2)$, $B(8;6)$ et $C(2;0)$ trois points du plan muni d’un repère orthonormée $\left(O,I,J \right) $.
On complétera la figure ci-dessous au fur et à mesure de l’exercice.

  1. Démontrer que le milieu $E$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $(4;4)$.
    $\quad$
  2. Déterminer les distances $AB$ et $BC$.
    $\quad$
  3. Sachant que $AC=\sqrt{8}$, déterminer la nature du triangle $ABC$ en justifiant votre réponse.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du symétrique du point $C$ par rapport au point $E$. On le nommera $D$.
    $\quad$
  5. En déduire la nature exacte du quadrilatère $ACBD$ en justifiant votre réponse.
    $\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

  1. L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=[-6;6]$.
    $\quad$
  2. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est environ $2,5$.
    $\quad$
  3. Les antécédents de $1$ par la fonction $f$ sont $-4$; $-1$ et $3$.
    $\quad$
  4. On a $f(1)\approx 1,8$.
    $\quad$
  5. Les solutions de l’équation $f(x)=-1$ sont $-6$ et $5$.
    $\quad$
  6. La solution de l’inéquation $f(x)<1$ est $[-6;-4[\cup ]3;6]$.
    $\quad$
  7. Le tableau de variation de la fonction $f$ est :
    $\quad$
  8. Le maximum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est $4$ (atteint en $-3$) et le minimum est $-2$ (atteint en $6$).
    $\quad$
  9. a. Si $-3a \pp a \pp b \pp -1$ alors $f(a) \pg f(b)$ ;
    $\quad$
    b. Si $x \pp -3$ alors $f(x) \pp 4$ ;
    $\quad$
    c. Si $-1 \pp x \pp 6$ alors $-2 \pp f(x) \pp 2$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. L’effectif total est $2+4+2+\ldots+3=30$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{30}{2}=15$ La médiane est donc la moyenne de la $15^{\text{ème}}$ et de la $16^{\text{ème}}$ valeur. Soit $m_1=\dfrac{14+14}{2}=14$.
    $\quad$
    $\dfrac{30}{4}=7,5$ donc $Q_1$ est la $8^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_1=9$.
    $\quad$
    $\dfrac{30\times 3}{4}=22,5$ donc $Q_3$ est la $23^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_3=16$.
    $\quad$
    c. La moyenne est $x_1=\dfrac{7\times 2+8\times 4+\ldots+23\times 3}{30}=\dfrac{405}{30}=13,5$.
    $\quad$
  2. a. On détermine le centre des classes :
    $\small
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Jours} & [70;80[& [80;90[ &[90;100[ &[100;110[ &[110;120[ &[120;130[ &[130;140[ &[140;150[&[150;170[ \\
    \hline
    \text{Fréquences} & & & & & & & & & \\
    \text{cumulées} & 6\%&17\% &38\% &53\% &77\% &91\% &95\% &96\% &100\% \\
    \text{croissantes}& & & & & & & & & \\
    \hline
    \text{Centre} & 75&85&95&105&115&125&135&145&160 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Une estimation de la moyenne est donc $x_2=\dfrac{75\times 4+85\times 8+\ldots+160\times 3}{4+8+\ldots+3}=\dfrac{7~795}{72}\approx 108,26$.
    $\quad$
    b. À partir du graphique on peut lire que :
    $\bullet$ la médiane est $m_2\approx 107$;
    $\bullet$ $Q_1\approx 93$
    $\bullet$ $Q_3 \approx 118$

Ex 3

Exercice 3

  1. On appelle $x$ la longueur d’un côté d’un petit triangle.
    Le périmètre d’un petit triangle est $P_1=3x$ donc la somme des périmètres des trois petits triangles est $P_2=3\times 3x=9x$.
    Le périmètre de l’hexagone est $P_3=3(6-2x)+3x=18-6x+3x=18-3x$.
    On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*}
    P_3=P_2 &\ssi 18-3x=9x \\
    &\ssi 18=12x \\
    &\ssi x=\dfrac{18}{12} \\
    &\ssi x= \dfrac{3}{2}
    \end{align*}$
    La somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l’hexagone si $x=1,5$.
    $\quad$
  2. L’aire d’un petit triangle est $\mathscr{A}_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$
    La somme des aires des petits triangles est $\mathscr{A}_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\times 3$
    L’aire du grand triangle est $\mathscr{A}_3=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}$
    L’aire de l’hexagone est $\mathscr{A}_4=9\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2$
    On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*}
    \mathscr{A}_2=\mathscr{A}_4&\ssi \dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2=9\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2 \\
    &\ssi \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2=9\sqrt{3} \\
    &\ssi x^2=\dfrac{9\sqrt{3}\times 2}{3\sqrt{3}} \\
    &\ssi x^2=6\\
    &\ssi x=\sqrt{6} \quad \text{car }x>0
    \end{align*}$
    La somme des aires des trois petits triangles est égale à l’aire de l’hexagone si $x=\sqrt{6}$.
    $\quad$

Remarque : Il est possible de mettre ces questions en équation de plusieurs façons.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)&=\dfrac{-7+(2x-3)^2-(4+2x)^2}{14} \\
    &=\dfrac{-7+4x^2+9-12x-\left(16+4x^2+16x\right)}{14}\\
    &=\dfrac{-7+4x^2+9-12x-16-4x^2-16x}{14}\\
    &=\dfrac{-28x-14}{14}\\
    &=-2x-1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc affine.
    $\quad$
    c. On veut résoudre
    $\begin{align*}
    f(x)=\dfrac{1}{4}&\ssi -2x-1=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -2x=\dfrac{5}{4} \\
    &\ssi x=-\dfrac{5}{8}
    \end{align*}$
    L’antécédent de $\dfrac{1}{4}$ par la fonction $f$ est $-\dfrac{5}{8}$.
    $\quad$
    d. Le coefficient directeur de la fonction affine $f$ est $a=-2<0$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\R$.
    $\quad$
    e. $f(x)=0 \ssi -2x-1=0 \ssi -2x=1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$.
    Puisque la fonction $f$ est décroissante sur $\R$ on a le tableau de signes suivant :
  2. a.
    $\begin{align*} g\left(\dfrac{4}{3}\right)&=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-10\times \dfrac{4}{3}+11 \\
    &=\dfrac{16}{9}-\dfrac{40}{3}+11\\
    &=\dfrac{16}{9}-\dfrac{120}{9}+\dfrac{99}{9}\\
    &=-\dfrac{5}{9}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*}
    (x-3)(x-7)-10&=x^2-7x-3x+21-10 \\
    &=x^2-10x+11\\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. $\quad$
    $\quad$
    $\begin{align*}
    g(x)=-10 &\ssi (x-3)(x-7)-10=-10\\
    &\ssi (x-3)(x-7)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-3=0 \ssi x=3$ ou $x-7=0 \ssi x=7$.
    Les antécédents de $-10$ par la fonction $g$ sont donc $3$ et $7$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Les coordonnées de $E$ sont :
    $$\begin{array}{rlcrl}
    x_E&=\dfrac{x_A+x_B}{2}&&y_E&=\dfrac{y_A+y_B}{2} \\\\
    &=\dfrac{0+8}{2}&&&=\dfrac{2+6}{2}\\
    &=4&&&=4
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{array}{rlcrl}
    AB&=\sqrt{(8-0)^2+(6-2)^2}&&BC&=\sqrt{(2-8)^2+(0-6)^2}\\
    &=\sqrt{64+16}&&&=\sqrt{36+36}\\
    &=\sqrt{80}&&&=\sqrt{72}
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=80$
    D’autre part $AC^2+BC^2=72+8=80$
    Donc $AB^2=AC^2+BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  4. $D$ est le symétrique du point $C$ par rapport à $E$. Donc $E$ est le milieu du segment $[DC]$.
    Ainsi :
    $$\begin{array}{rlcrl}
    x_E=\dfrac{x_C+x_D}{2} &\ssi 4=\dfrac{2+x_D}{2} &&y_E=\dfrac{y_C+y_D}{2}&\ssi 4=\dfrac{0+y_D}{2} \\
    &\ssi 8=2+x_D&& &\ssi y_D=8\\
    &\ssi x_D=6&&&
    \end{array}$$
    Donc le point $D$ a pour coordonnées $(6;8)$.
    \item Les diagonales $[CD]$ et $[AB]$ se coupent en leur milieu. Donc $ACBD$ est un parallélogramme.
    Le triangle $ACB$ est rectangle en $C$. Donc le parallélogramme $ACBD$ est un rectangle.
    $AC\neq CB$ donc $ACBD$ n’est pas un carré.