2nd – devoir commun – janvier 2019

Devoir commun – 2nd

 Janvier 2019

Énoncé

Exercice 1     4,75 points

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{7}{2}\right]$ dont les courbes représentatives sont représentées ci-dessous.

À l’aide du graphique répondre aux questions suivantes. Les réponses seront données avec la précision permise par le graphique.

  1. Déterminer l’image de $-\dfrac{1}{2}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le nombre d’antécédents de $0,5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $g(x)=0$.
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]$ déterminer les extrema de la fonction $g$.
    Vous préciserez leur valeur et en quelles valeurs ils sont atteints.
    $\quad$
  6. a. Construire le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $\quad$
    b. À partir du tableau de variation de la fonction $g$, comparer les nombres $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $g\left(\dfrac{3}{2}\right)$ d’une part et $g\left(\dfrac{5}{2}\right)$ et $g(3)$ d’autre part.
    $\quad$
  7. Résoudre l’inéquation $g(x) \pp 0$.
    $\quad$
  8. Résoudre l’inéquation $f(x) > g(x)$.
    $\quad$

 

Exercice 2     5,5 points

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$,on considère les points $A(1;4)$, $B(4;1)$ et $C(-1,2)$

  1. Sur le repère ci-dessous, faire une figure, à compléter au fil des questions.
    $\quad$
  2. a. Calculer $AC$
    $\quad$
    b. On donne $AB=\sqrt{18}$ et $BC=\sqrt{26}$.
    Le triangle $ABC$ est-il rectangle? Justifier.
    $\quad$
  3. Donner la définition d’une médiane d’un triangle.
    $\quad$
  4. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu $A’$ de $[BC]$.
    $\quad$
  5. Montrer qu’une équation de la droite $(AA’)$ est $y=9-5x$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer par le calcul les coordonnées de $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la droite d’équation $y = 3-0,5x$ . Vérifier que $d$ est la droite $(BB’)$.
    $\quad$
  7. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites $(AA’)$ et $(BB’)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     3,25 points

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=4$ cm ; $AD=3$ cm et $AE=5$ cm.

On place un point $I$ sur le segment $[AB]$ tel que $AI=x$ et un point $J$ sur le segment $[AE]$ tel que $AJ=5-2x$.

  1. Construire sur votre feuille le patron du tétraèdre $AIJD$ pour $x=2$.
    $\quad$
  2. Déterminer le volume du tétraèdre $AIJD$ quand $x=2$.
    $\quad$
  3. On s’intéresse dans cette question à la fonction $V$ qui donne le volume du tétraèdre $AIJD$ en fonction de la valeur de $x$.
    La fonction $V$ est donnée par l’expression: $V(x)=-x^2+\dfrac{5}{2}x$
    a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&0,25&0,5&0,75&1&1,25&1,5&1,75&2&2,25&2,5\\
    \hline
    V(x)&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. À l’aide du tableau de valeurs, tracer la courbe de la fonction $V$ pour $x \in \left[ 0;\dfrac{5}{2}\right] $ dans le repère ci-dessous:
    $\quad$
    c. En déduire pour quelle valeur de $x$ le volume du tétraèdre $AIJD$ semble maximal.
    $\quad$

Exercice 4     3,75 points

On pose $D(x)=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2$.

  1. Développer et réduire $D(x)$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $D(x)=(2x-7)(10x+10)$.
    $\quad$
  3. En déduire les valeurs de $x$ telles que $D(x)=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D(x)$ pour $x=2$ puis pour $x=-4$.
    $\quad$
  5. Compléter l’algorithme (l’une des deux versions seulement) suivant pour qu’il indique si un nombre $x$ fourni par l’utilisateur est solution ou non de l’inéquation $(2x-7)(10x+10)<0$
    $\quad$
    En langage naturel
    Saisir $x$
    $D\leftarrow \ldots\ldots$
    Si $\ldots \ldots$
    Alors
    $\quad$ Afficher « $x$ est solution de l’inéquation »
    Sinon
    $\quad$ $\ldots \ldots$
    Fin Si
    $\quad$
    En python
    x=float(input(“Saisir la valeur de x”))
    D = ……
    if ……. :
    print(“x est solution de l’inéquation”)
    else :
    ……
    $\quad$

 

Exercice 5     2,75 points

Une balle de tennis a un diamètre de $6,4$ cm.
On place $4$ balles dans une boîte qui a la forme d’un pavé droit de hauteur $6,4$ cm.
La boîte est juste assez grande pour contenir les $4$ balles.

 

Calculer le pourcentage du volume de la boîte occupé par les quatre balles. Arrondir à $0,1 \%$ près.
Justifier soigneusement la réponse. Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

Ex1

  1. $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\approx-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. $f\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 1$.
    $\quad$
  3. On lit sur le graphique que $0,5$ admet deux antécédents par $f$, qui sont environ $0,5$ et environ $2,5$.
    $\quad$
  4. On lit sur le graphique que l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions qui sont environ $0$ et environ $3$.
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]$, le minimum de $g$ vaut environ $-1$ et est atteint en $x\approx 2$.
    Le maximum de $g$ vaut environ $0$ et est atteint en $x\approx 0$.
    $\quad$
  6. a. Le tableau de variation de la fonction $g$ est :
    $\quad$
    a. On a : $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}<2$. Or, sur l’intervalle $\left[0;2\right]$, la fonction $g$ est décroissante. Donc $g\left(\dfrac{1}{2}\right)>g\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    De plus : $2<\dfrac{5}{2}<3<\dfrac{7}{2}$.
    Or, sur l’intervalle $\left[2;\dfrac{7}{2}\right]$, la fonction $g$ est croissante, donc $g\left(\dfrac{5}{2}\right)<g\left(3\right)$.
    $\quad$
  7. Graphiquement, on voit que l’ensemble solution $S$ de l’inéquation $g(x) \pp 0$ est $S=[-1;3]$.
    $\quad$
  8. Graphiquement, on voit que l’ensemble solution $S’$ de l’inéquation $f(x) > g(x)$ est $S’=]0;3[$.
    $\quad$

Ex2

  1. Voir figure ci-dessous.

    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
    &=\sqrt{(-1-1)^2+(2-4)^2}\\
    &=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\\
    &=\sqrt{4+4}\\
    &=\sqrt{8} \end{align*}$.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$ puisqu’on remarque que $\sqrt{8}<\sqrt{18}<\sqrt{26}$.
    D’une part $AB^2+AC^2=\left(\sqrt{18}\right)^2+\left(\sqrt{8}\right)^2=18+8=26$
    D’autre part $BC^2=\left(\sqrt{26}\right)^2=26$
    Donc $BC^2=AB^2+AC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
    $\quad$
  4. D’après la formule des coordonnées du milieu, on a $A’\left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$ donc $A’\left(\dfrac{4+(-1)}{2};\dfrac{1+2}{2}\right)$ d’où $A’\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  5. $x_A=1\neq\dfrac{3}{2}=x_{A’}$ donc une équation de $(AA’)$ est du type $y=ax+b$.
    Le coefficient directeur $a$ est donné par
    $\begin{align*} a&=\dfrac{y_{A’}-y_{A}}{x_{A’}-x_A}\\
    &=\dfrac{\dfrac{3}{2}-4}{\dfrac{3}{2}-1} \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{2}}{\dfrac{1}{2}}\\
    &=-\dfrac{5}{2}\times2\\
    &=-5 \end{align*}$.
    Donc $(AA’) : y=-5x+b$.
    Or $A\in(AA’)$ donc $y_A=-5x_A+b$ d’où $4=-5\times1+b$ et donc $b=9$.
    Au final, on a bien $(AA’) : y=-5x+9$.
    $\quad$
  6. a. Comme précédemment, on a :
    $B’\left(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $B’\left(0;3\right)$.
    $\quad$
    b. Vérifions dans un premier temps que $B\in d$. On a :
    $3-0,5x_B=3-0,5\times4=1=y_B$ donc $B\in d$. De même, vérifions que $B’\in d$.
    On a : $3-0,5x_{B’}=3-0,5\times0=3=y_{B’}$ donc $B’\in d$.
    Au final, $(BB’)=d$. Donc $(BB’)\ :\ y=3-0,5x$.
    $\quad$
  7. D’après les questions précédentes, les droites $(AA’)$ et $(BB’)$ ont des coefficients directeurs différents ($-5\neq-0,5$) : elles sont donc sécantes. Notons alors $G\left(x_G;y_G\right)$ leur point d’intersection.
    $$\begin{align*}G\left(x_G;y_G\right)\in(AA’)\cap(BB’)&\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ y_G&=3-0,5x_G \end{array}\right. \\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\9-5x_G&=3-0,5x_G \end{array}\right. \\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ 6&=4,5x_G \end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ \dfrac{4}{3}&=x_G\end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} x_G&=\dfrac{4}{3}\\y_G&=9-5\times\dfrac{4}{3} \end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} x_G&=\dfrac{4}{3}\\y_G&=\dfrac{7}{3} \end{array}\right.\end{align*}$$
    $\quad$

Ex3

  1. On obtient le patron suivant :
    $\quad$
  2. On considère le triangle $AIJ$ comme base du tétraèdre $AIJD$. Ce triangle est rectangle en $A$ donc son aire $\mathscr{A}$ est donnée par $\mathscr{A}=\dfrac{AI\times AJ}{2}=1$.
    Donc, le volume $V$ du tétraèdre $AIJD$ est donné par $V=\dfrac{\mathscr{A}\times AD}{3}=1$. Quand $x=2$, le volume du tétraèdre vaut $1$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&\phantom{00}0\phantom{00}&0,25&0,5&0,75&\phantom{00}1\phantom{00}&1,25&1,5&1,75&\phantom{00}2\phantom{00}&2,25&2,5\\
    \hline
    V(x)&\color{red}0&\color{red}0,5625&\phantom{00}\color{red}1\phantom{00}&\color{red}1,3125&\phantom{0}\color{red}1,5\phantom{0}&\color{red}1,5625&\phantom{0}\color{red}1,5\phantom{0}&\color{red}1,3125&\phantom{00}\color{red}1\phantom{00}&\color{red}0,5625&\phantom{00}\color{red}0\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Ce qui nous permet d’obtenir la représentation graphique suivante :

    $\quad$
    c. Graphiquement, on obtient un volume maximal pour $x=1,25$.
    $\quad$

Ex4

  1. $D(x)=24x^2-78x-21-\left(4x^2-28x+49\right)=20x^2-50x-70$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel. Alors : $(2x-7)(10x+10)=20x^2+20x-70x-70=20x^2-50x-70$.
    $\quad$
  3. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $D(x)=0\Leftrightarrow (2x-7)(10x+10)=0\Leftrightarrow 2x-7=0 \text{ ou } 10x+10=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}\\text{ou}\ x=-1$.
    L’ensemble solution $S$ de l’équation $D(x)=0$ est $S=\left\lbrace-1,\dfrac{7}{2}\right\rbrace$.
    $\quad$
  4. $D(2)=(2\times2-7)\times(10\times2+10)=-3\times30=-90$ et $D(-4)=(2\times(-4)-7)\times(10\times(-4)+10)=450$.
    $\quad$
  5. Langage naturel
    Saisir $x$
    $D\leftarrow \color{red}{(2x-7)\times(10x+10)}$
    Si $\color{red}{D<0}$
    Alors
    $\quad$ Afficher « $x$ est solution de l’inéquation »
    Sinon
    $\quad$ Afficher « $\color{red}x$ n’est pas solution»
    Fin Si
    $\quad$
    En python
    x=float(input(“Saisir la valeur de x”))
    D = (2*x-7)*(10*x+10)
    if D < 0 :
    print(“x est solution de l’inéquation”)
    else :
    print(“x n’est pas solution”)
    $\quad$

Ex5

D’après les informations de l’énoncé, la boîte est un parallélépipède rectangle de dimensions $6,4$ cm, $12,8$ cm et $12,8$ cm. Son volume $\mathscr{V}_{\text{boîte}}$ vaut donc $\mathscr{V}_{\text{boîte}}=6,4\times12,8\times12,8=1048,576$ (cm$^3$ !).

Chaque balle a un diamètre de $6,4$ cm, ce qui donne un rayon de $3,2$ cm. Donc, le volume d’une balle  vaut $\dfrac{4}{3}\times\pi\times3,2^3=\dfrac{131,072\pi}{3}$ cm$^3$. Donc le volume des quatre balles vaut $\mathscr{V}_{4\ \text{balles}}=\dfrac{524,288\pi}{3}$.

Donc $\dfrac{\mathscr{V}_{4\ \text{balles}}}{\mathscr{V}_{\text{boîte}}}\approx 0,524$. Les quatre balles occupent donc environ $52,4 \%$ de la boîte.

$\quad$