Exercice 1   (5,5 points)

Partie A :

1. Sur le graphique ci-dessus, on a représenté une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$.
   a. Déterminer graphiquement l’image de $0$ par $f$.
   $\quad$
   b. Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $1$ par $f$.
   $\quad$
2. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) \pg 3$.
   $\quad$

Partie B :

La courbe représentée ci-dessus est celle de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$ par $f(x)=x^3-4x+1$.

1. Déterminer par le calcul les images de $-1$ et de $\sqrt{2}$ par $f$.
   $\quad$
2. Le point $A\left(\dfrac{1}{4};0\right)$ appartient-il à la courbe représentant la fonction $f$? Justifier.
   $\quad$

Déterminer par le calcul le ou les antécédents de $1$ par la fonction $f$.
$\quad$

Exercice 2   (5 points)

Une enquête s’intéresse au nombre d’enfants par famille dans un village français.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre d’enfants}\\\text{par famille}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\text{Effectifs}&105&139&97&63&47&33&10&4&2\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectifs cumulés}\\\text{croissants}\end{array}&&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$

1. Compléter le tableau.
   $\quad$
2. Calculer la moyenne de cette série. Indiquer les calculs.
   $\quad$
3. Déterminer la médiane et les quartiles de cette série. Justifier.
   $\quad$
4. Quel est le nombre de familles ayant au plus un enfant?
   $\quad$
5. Quel est le pourcentage de familles ayant au moins trois enfants?
   $\quad$

Exercice 3   (4,5 points)

Les $32$ élèves d’une classe de lycée doivent traiter un exercice de probabilités. Pour organiser les données, ils disposent de deux méthodes : un tableau ou un arbre.
Trois quarts d’entre eux utilisent un tableau et parmi ceux-ci $12,5\%$ ont fait une erreur.
Tous les autres ont fait un arbre et un seul d’entre eux a fait une erreur.

1. Compléter le tableau ci-dessous afin de faire la synthèse de ces données.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   &\text{tableau}&\text{arbre}&\text{total}\\
   \hline
   \text{Avec erreur}&&1&\\
   \hline
   \text{Sans erreur}&&&\\
   \hline
   \text{Total}&24&&32\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
2. On choisit dans cette classe un élève au hasard.
   On note $T$ l’événement “l’élève utilise un tableau”.
   On note $E$ l’événement “l’élève a fait une erreur”.
   Calculer les probabilités de $T$ et $E$.
   $\quad$
3. Exprimer de manière précise les événements suivants à l’aide d’une phrase et calculer leur probabilité :
   a. $T\cap E$
   $\quad$
   b. $T\cup E$
   $\quad$
   c. $\conj{T}$
   $\quad$

Exercice 4   (5 points)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple.
Il comporte cinq questions. Les réponses possibles sont a. b. et c. et une seule est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte 1 point, chaque réponse fausse retire 0,25 point. L’absence de réponse n’est pas sanctionnée. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro.

Pour chacune des questions reporter la lettre correspondant à votre réponse

1. La droite $\left(d_1\right)$ est tracée dans le repère ci-dessus. Son coefficient directeur est :
   a. $2$ $\qquad$ b. $-2$ $\qquad$ c. $1,5$
   $\quad$
2. La droite $\left(d_2\right)$ est tracée dans le repère ci-dessus. Une équation de $\left(d_2\right)$ est :
   a. $y=0,5x-2$ $\qquad$ b. $y=2x-2$ $\qquad$ c. $y=0,5x+4$
   $\quad$
3. La droite $(d)$ a pour équation $y=-2x+5$. La droite $(d’)$ est parallèle à $(d)$ et passe par le point $A(1;1)$. Une équation de $(d’)$ est :
   a. $y=-2x-3$ $\qquad$ b. $y=-4x+5$ $\qquad$ c. $y=-2x+3$
   $\quad$
4. $ABCD$ est un parallélogramme. $B(-10;30)$ et $D(20;-10)$. Les coordonnées du milieu de $[AC]$ sont :
   a. $(15;-20)$ $\qquad$ b. $(5;10)$ $\qquad$ c. $(10;20)$
   $\quad$
5. Le système $\begin{cases}y=3-2x\\y=-2+\dfrac{x}{2}\end{cases}$ a pour solution :
   a. $(3;-0,5)$ $\qquad$ b. $(1;1)$ $\qquad$ c. $(2;-1)$
   $\quad$

Exercice 5   (5,5 points)

Partie A :

Dans un repère orthonormé, on considère les trois points $A(-2;0)$, $B(-0,5;2)$ et $C(2;2)$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
   $\quad$
2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
   $\quad$
3. Montrer que $ABCD$ est un losange.
   $\quad$

Partie B :

Sur le graphique ci-dessous :

1. Lire les coordonnées de $\vec{u}$.
   $\quad$
2. Placer les points $E$ et $F$ tels que $\vect{AE}=\vect{AB}+2\vect{BC}$ et $\vect{BF}=\vect{BC}-\vect{BA}$.
   $\quad$
3. Représenter le vecteur $\vec{v}(-2;2)$ avec pour origine le point $O$.
   $\quad$
4. Démontrer que $\vect{AF}=\vect{AB}+\vect{AC}$.
   $\quad$

Exercice 6   (4,5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x-16$ (forme 1).

1. Montrer que $f(x)=(x-2)(x+8)$ (forme 2)
   $\quad$
2. Montrer que $f(x)=(x+3)^2-25$ (forme 3)
   $\quad$
3. En utilisant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes en justifiant les réponses :
   a. Résoudre $f(x)=0$.
   $\quad$
   b. Dresser le tableau de variation de $f$.
   $\quad$
4. Résoudre $f(x)>0$.
   $\quad$

Exercice 1

Partie A :

1. a. $f(0)=1$
   $\quad$
   b. Les antécédents de $1$ par $f$ sont : $-2$; $0$ et $2$.
   $\quad$
2. On cherche les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est supérieure à $3$ :
   Graphiquement la solution est $[-1,75;-0,5]\cup[2,25;2,5]$ (approximativement).
   

Partie B

1. \quad$
   $\begin{align*}f(-1)&=(-1)^3-4\times (-1)+1\\
   &=-1+4+1\\
   &=4
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} f\left(\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}^3-4\sqrt{2}+1\\
   &=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}+1\\
   &=-2\sqrt{2}+1
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On calcule $f\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{64}-4\times \dfrac{1}{4}+1=\dfrac{1}{64}\neq 0$.
   Le point $A$ n’appartient donc pas à la courbe.
   $\quad$
3. On cherche à résoudre :
   $\begin{align*} x^3-4x+1=1&\ssi x^3-4x=0 \\
   &\ssi x\left(x^2-4\right)=0\\
   &\ssi x(x-2)(x+2)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
   Cette équation possède trois solutions : $0$, $2$ et $-2$.
   Les antécédents de $1$ sont $0$, $2$ et $-2$.

Exercice 2

1. $\quad$
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Nombre d’enfants}\\\text{par famille}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
   \hline
   \text{Effectifs}&105&139&97&63&47&33&10&4&2\\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Effectifs cumulés}\\\text{croissants}\end{array}&105&244&341&404&451&484&494&498&500\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \text{Moyenne}&=\dfrac{105\times 0+139\times 1 + \ldots +8\times 2}{500}\\
   &=\dfrac{979}{500} \\
   &=1,958
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $\dfrac{500}{2}=250$. Donc la médiane est la moyenne est la $250^{\text{ème}}$ et la $251^{\text{ème}}$ valeur.
   Par conséquent, médiane $= 2$.
   $\quad$
   $\dfrac{500}{4}=125$. Le premier quartile est donc la $125^{\text{ème}}$ valeur : $Q_1=1$.
   $\quad$
   $\dfrac{500\times 3}{4}=375$. Le premier quartile est donc la $375^{\text{ème}}$ valeur : $Q_3=3$.
   $\quad$
4. Pour répondre à cette question, il suffit de lire la valeur dans la colle $1$ de la ligne des effectifs cumulés croissants. $244$ familles ont au plus un enfant.
   $\quad$
5. $500-341=159$. $159$ familles ont au moins trois enfants.
   $\dfrac{159}{500}=0,318$. $31,8\%$ des familles ont au moins trois enfants.
   $\quad$

Exercice 3

1. $\quad$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   &\text{tableau}&\text{arbre}&\text{total}\\
   \hline
   \text{Avec erreur}&3&1&4\\
   \hline
   \text{Sans erreur}&21&7&28\\
   \hline
   \text{Total}&24&8&32\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   $\dfrac{12,5}{100}\times 24=3$. Les autres valeurs s’obtiennent en analysant les données du tableau.
   $\quad$
2. $P(T)=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}$ (l’énoncé nous le dit!)
   $P(E)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$
   $\quad$
3. a. $T\cap E$ : “l’élève a fait un tableau et a fait une erreur” : $P(T\cap E)=\dfrac{3}{32}$.
   $\quad$
   b. $T\cup E$ : “l’élève a fait un tableau ou a fait une erreur” : $P(T\cup E)=\dfrac{25}{32}$.
   $\quad$
   c. $\conj{T}$ : “l’élève n’a pas fait de tableau” : $P\left(\conj{T}\right)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$

Exercice 4

1. Le coefficient directeur est nécessairement négatif.
   Réponse b
   $\quad$
2. L’ordonnée à l’origine est $-2$.
   Les points de coordonnées $(0;-2)$ et $(4;0)$ appartiennent à la droite.
   Le coefficient directeur est $a=\dfrac{-2-0}{0-4}=0,5$
   Réponse a
   $\quad$
3. Les deux droites ont le même coefficient directeur puisqu’elles sont parallèles.
   Une équation de $(d’)$ est donc de la forme $y=-2x+b$
   Le point $A(1;1)$ appartient à cette droite. Donc $1=-2\times 1 + b$ soit $b=3$.
   Réponse c
   $\quad$
4. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Par conséquent $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $M$.
   $x_M=\dfrac{-10+20}{2}=5$ et $y_M=\dfrac{30-10}{2}=10$
   Réponse b
   $\quad$
5. On teste les différentes propositions faites.
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 5

Partie A :

1. $\vect{AB}(-0,5-(-2);2-0)$ donc $\vect{AB}(1,5;2)$.
   $\quad$
2. $ABCD$ est un parallélogramme par conséquent $\vect{AB}=\vect{DC}$.
   Donc $\begin{cases}2-x_D=1,5\\2-y_D=2\end{cases}$ soit $\begin{cases} x_D=0,5\\y_D=0\end{cases}$.
   $\quad$
3. Calculons $AB=\sqrt{1,5^2+2^2}=2,5$
   $Bc=2-(-0,5)=2,5$ (puisque les point ont la même ordonnée).
   Le parallélogramme $ABCD$ possède deux côtés consécutifs de même longueur. C’est donc un losange.
   $\quad$

Partie B

1. On lit $\vec{u}(2;-2)$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
3. cf figure
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} \vect{AF}&=\vect{AB}+\vect{BF}\\
   &=\vect{AB}+\vect{BC}-\vect{BA} \\
   &=\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{AB}\\
   &=\vect{AC}+\vect{AB}
   \end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 6

1. $\quad$
   $\begin{align*} (x-2)(x+8)&=x^2+8x-2x-16\\
   &=x^2+6x-16\\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} (x+3)^-25&=x^2+6x+9-25\\
   &=x^2+6x-16\\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   $\quad$

3. a. On utilise la forme 2 : $(x-2)(x+8)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x=2$ ou $x=-8$.
   L’équation possède par conséquent deux solutions $2$ et $-8$.
   $\quad$
   b. On utilise la forme $3$.
   Le coefficient principal est $a=1>0$.
   
   c. On utilise la forme 2
   
   La solution est donc $]-\infty;-8[\cup]2;+\infty[$.
   $\quad$