2nd – Devoir commun 2

Exercice 1 : Équations de droite $\quad$ 3 points

 

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$. On considère les points $A(2;3)$, $B(4;0)$, $C(4;2)$, $D(0;2)$, $E(0;4)$ et $F(2;-1)$.

2nd-Devoir commun 2-ex1

Pour chacune des questions donner la bonne réponse.
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une mauvaise réponse enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
& \text{Réponse A} &\text{Réponse B} &\text{Réponse C} \\
\hline
\text{La droite d’équation }y=2x-1 \text{ passe par le point :} & O & I & A \\
\hline
\text{La droite }(BC) \text{ a pour équation :} & y=4 & y=0 & x=4 \\
\hline
\text{La parallèle a } (CD) \text{ passant par }E \text{ a pour équation :} & y=4 & y=2x+4 & x=0 \\
\hline
\text{La droite } (AB) \text{ a pour équation :} & y=-x+5 & y=-\dfrac{3}{2}x+6 & y = -\dfrac{4}{3}x+5 \\
\hline
\text{La parallèle à } (AB) \text{ passant par } F \text{ a pour équation :} & y=-\dfrac{3}{2}x+6 & y=-\dfrac{3}{2}x + 2 & y=-x+2 \\
\hline
\text{Les droites } (AB) \text{ et } (CD) \text{ se coupent au point de coordonnées :} & (2;2) & (2,7;2) & \left(\dfrac{8}{3};2\right) \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $2\times 2 – 1 = 4 – 1 =3$.
    La droite d’équation $y=2x-1$ passe par le point A. Réponse C
    $\quad$
  2. $B$ et $C$ ont la même abscisse.
    La droite $(BC)$ a pour équation $x=4$. Réponse C
    $\quad$
  3. La droite $(CD)$ est parallèle à l’axe des abscisses. Son équation est donc de la forme $y=k=$.
    Par conséquent la parallèle à $(CD)$ passant par $E$ a pour équation $y=4$. Réponse A
    $\quad$
  4. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $a=\dfrac{0-3}{4-2}=-\dfrac{3}{2}$.
    La droite $(AB)$ a pour équation $y=-\dfrac{3}{2}x+6$. Réponse B
    $\quad$
  5. $-\dfrac{3}{2}\times 2+2=-3+2=-1$.
    La parallèle à $(AB)$ passant par $F$ a pour équation $y=-\dfrac{3}{2}x+2$. Réponse B
    $\quad$
  6. Les coordonnées du point d’intersection sont solutions du système $\begin{cases}y=2\\\\y=-\dfrac{3}{2}x+6\end{cases}$.
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent au point de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3};2\right)$. Réponse C

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$\quad$

Exercice 2 : Fonction affine $\quad$ 4 points

$f$ est une fonction affine de coefficient directeur égal à $1$.

  1. Compléter le tableau de signe suivant :
    2nd - Devoir commun2015 - ex2
  2. Résoudre $\dfrac{f(x)}{g(x)} \le 0$.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $\quad$

    2nd-devoir commun2-ex2cor (1)

  2. La solution de l’équation $\dfrac{f(x)}{g(x)} \le 0$ est $[-10;-2]\cup]3;10]$.

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$\quad$

Exercice 3 : Fonction polynôme $\quad$ 6 points

On donne $f(x)=(3x-2)^2-16$

  1. Développer $f(x)$.
    $\quad$
  2. Factoriser $f(x)$.
    $\quad$
  3. Utiliser la forme la plus adaptée de $f(x)$ pour répondre aux questions suivantes :
    a. Calculer l’image de $0$.
    $\quad$
    b. Déterminer les antécédents de $0$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E) : f(x) = -16$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x) = 9x^2 – 12x + 4 – 16 = 9x^2 – 12x – 12$
    $\quad$
  2. $f(x) = (3x-2)^2-4^2$
    $f(x) = \left[(3x-2) – 4\right] \left[(3x-2) + 4\right] = (3x-6)(3x+2)$
    $\quad$
  3. a. Pour calculer $f(0)$, on utilise la forme développée : $f(0) = -12$
    $\quad$
    b. On veut résoudre $f(x)=0$. On utilise la forme factorisée.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi :
    $$\begin{array}{lcl}
    3x-6 = 0 & \text{ou} & 3x+2 = 0 \\
    3x = 6 & \text{ou} & 3x = -2 \\
    x=2 & \text{ou} & x=\dfrac{-2}{3}
    \end{array}$$
    Les antécédents de $0$ sont donc $2$ et $-\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    c. Pour résoudre l’équation $f(x)=-16$ on va utiliser la forme initiale.
    $$\begin{align*}
    f(x)=-16 &\ssi (3x-2)^2-16 = -16 \\
    &\ssi (3x-2)^2 =0\\
    &\ssi 3x-2=0 \\
    & \ssi x = \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$$

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$\quad$

Exercice 4 : Tableau de variation $\quad$ 3 points

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies, fausses ou si on ne peut pas répondre. Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une mauvaise réponse $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

On donne ci-dessous le tableau de variations de de la fonction $f$.

2nd-Devoir commun 2-ex4

 

$\begin{array}{llc}
1. & (-2) < f(-2,5) & \ldots \ldots \ldots \\
2. & f(-3) = -4 & \ldots \ldots \ldots \\
3. & 2 \text{ est un antécédent de } 0 \text{ par }f & \ldots \ldots \ldots \\
4. & \text{Il existe un nombre réel de l’intervalle }[0;3] \text{ qui a pour image }0 \text{ par } f & \ldots \ldots \ldots \\
5. & \text{Tous les réels de l’intervalle }[0;3] \text{ ont une image par } f \text{ positive} & \ldots \ldots \ldots \\
6. & \text{Il existe un réel de l’intervalle }[-3;3] \text{qui a une image strictement négative par }f & \ldots \ldots \ldots
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice 4
  1. $f(-2) < f(-2,5)$ FAUX
    $\quad$
  2. $f(-3) = -4$ FAUX
    $\quad$
  3. $2$ est un antécédent de $0$ par $f$ VRAI
    $\quad$
  4. Il existe un nombre réel de l’intervalle $[0;3]$ qui a pour image $0$ par $f$ VRAI
    $\quad$
  5. Tous les réels de l’intervalle $[0;3]$ ont une image par $f$ positive VRAI
    $\quad$
  6. Il existe un réel de l’intervalle $[-3;3]$ qui a une image strictement négative par $f$ ON NE SAIT PAS

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$\quad$

Exercice 5 : Statistiques $\quad$ 3 points

Sur la totalité du mois de janvier 2012, il y a eu $57$ nouveau-nés à la maternité “Beaux jours”. Leur taille sont données dans le tableau ci-dessous.

Les tailles sont exprimées en centimètres :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Taille} & 46 & 47,5& 48& 48,5& 49 & 49,5 & 50 & 50,5 & 51 & 51,5 & 52& 52,5 & 53 \\
\hline
\text{Effectif} & 1 & 2 &3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 8 & 7 &5 & 2 & 2 & 1 \\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer la moyenne, au centième de centimètre près, puis la médiane des tailles de ces $57$ nouveaux-nés en précisant la démarche.
    $\quad$
  2. Calculer le pourcentage de nouveau-nés ayant une taille inférieure ou égale à $49$ cm. Donner la réponse arrondie à $0,1\%$.
    $\quad$
  3. Parmi toutes ces tailles, déterminer la plus petite taille $t$ telle qu’au moins les trois quarts des nouveau-nés aient une taille inférieure ou égale à $t$ cm. Quel paramètre de la série des tailles a été ainsi trouvé?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. moyenne $=\dfrac{46 \times 1 + 47,5 \times 2 + \ldots + 53 \times 1}{57} \approx 49,97$
    $\quad$
    $\dfrac{57}{2} = 28,5$. La médiane est donc à la $29^{\text{ème}}$ position. C’est donc $50$.
    $\quad$
  2. $1+2+3+5+6=17$ et $\dfrac{17}{57} \approx 29,8\%$.
    Environ $29,8\%$ des nouveaux-nés ont une taille inférieure ou égale à $49$ cm.
    $\quad$
  3. On recherche donc le troisième quartile de cet ensemble de valeur.
    $57 \times \dfrac{3}{4} = 42,75$. On prend donc la $43^{\text{ème}}$ valeur. Par conséquent $t=51$.

\end{enumerate}

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$\quad$

Exercice 6 : Représentation graphique $\quad$ 5 points

Sur le graphique suivant sont représentées les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=0,5x^2-1,5$ et $g(x)=-0,5x^2-2x+1,5$.

$\mathscr{C}_f$ représente la fonction $f$ et $\mathscr{C}_g$ représente la fonction $g$.

2nd-Devoir commun 2-ex6

  1. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  2. Vérifier que $f(x)-g(x)=(x-1)(x+3)$ et résoudre algébriquement l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  3. Résoudre graphiquement $f(x)<g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On recherche les abscisses des points d’intersection des deux courbes. Les solutions sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$
  2. D’une part : $f(x)-g(x) = 0,5x^2 -1,5 – (-0,5x^2 – 2x + 1,5) = x^2 + 2x – 3$
    D’autre part $(x-1)(x+3) = x^2 +3x – x – 3 = x^2+ 2x – 3$.
    Donc $f(x)-g(x)=(x-1)(x+3)$.
    $$\begin{align*}
    f(x)=g(x) &\ssi f(x)-g(x) = 0 \\
    &\ssi (x-1)(x+3) = 0 \\
    &\ssi x=1 \text{ ou } x=-3
    \end{align*}$$
    Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont donc $1$ et $-3$.
    $\quad$
  3. Pour résoudre graphiquement $f(x)< g(x)$ on recherche les abscisses des points de $\mathscr{C}_f$ situés sous la courbe $\mathscr{C}_g$.
    La solution est $]-3;1[$.

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$\quad$

Exercice 7 : Coordonnées $\quad$ 6 points

On se place dans un repère orthonormé $(O;I,J)$.

  1. Dans le repère ci-dessous, placer les points suivants $A(-4;-2)$; $B(-2;9)$; $C(3;-1)$.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AC]$.
    $\quad$
  3. On considère le point $D$, symétrique de $B$ par rapport à $M$. Calculer les coordonnées de $D$. On ne demande pas de placer le point $D$ sur le graphique.
    $\quad$
  4. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$? Justifier.
    $\quad$

2nd-Devoir commun 2-ex7

Correction Exercice 7

  1. $\quad$
    2nd-devoir commun2-ex7cor
  2. $M$ est le milieu de $[AC]$ alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{-4 + 3}{2} = -\dfrac{1}{2}\\\\y_M = \dfrac{-2 – 1}{2} = -\dfrac{3}{2} \end{cases}$.
    $\quad$
  3. $M$ est donc le milieu de $[BD]$.
    Ainsi $\begin{cases} -\dfrac{1}{2} = \dfrac{-2 +x_D}{2} \\\\- \dfrac{3}{2} = \dfrac{9 + y_D}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} -1 = -2 +x_D \\-3 = 9 + y_D \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D = 1 \\y_D = -12 \end{cases}$
    $\quad$
  4. Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu $M$. C’est donc un parallélogramme.
    De plus $AB^2 = (-2 + 4)^2 + (9 + 2)^2 = 125$ et $BC^2 = (3+2)^2 + (-1 – 9)^2 = 125$.
    Ainsi le parallélogramme $ABCD$ possède deux côtés consécutifs, $[AB]$ et $[BC]$, de même longueur. C’est donc un losange.

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$\quad$

Exercice 8 : Fabrication de bijoux $\quad$ 6 points

Une bijouterie contient $20\%$ de boucles d’oreilles, $40\%$ de colliers, et le reste en bracelets. $60\%$ des bijoux sont en argent. Il y a autant de colliers en or que de colliers en argent. Enfin, $75\%$ des bracelets sont en argent.

  1. Compléter le tableau :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& \phantom{\dfrac{1}{2}{1}} & & & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} &\phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles }\\
    \hline
    \text{Total }&\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} && & 100\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. On choisit au hasard un bijou. Soit $E_1$ l’événement “le bijou choisi est en argent” et $E_2$ l’événement “le bijou choisi est un bracelet”.
    a. Calculer $P\left(E_1\right)$ et $P\left(E_2\right)$.
    $\quad$
    b. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cap E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cap E_2\right)$.
    $\quad$
    c. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cup E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cup E_2\right)$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. Quelle est la probabilité qu’il soit en or?
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& 10 &20 &30 & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &10&20 & 10&40 \\
    \hline
    \text{Total }&20&40& 40& 100\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. a. $P(E_1) = \dfrac{60}{100} = 0,6$ et $P(E_2) = \dfrac{40}{100} = 0,4$
    $\quad$
    b. $E_1 \cap E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est un bracelet en argent”.
    $P(E_1 \cap E_2) = \dfrac{30}{100} = 0,3$.
    c. $E_1 \cup E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est soit un bracelet soit en argent”.
    $P(E_1 \cup E_2) = \dfrac{60 + 10}{100} = 0,7$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. La probabilité qu’il soit en or est donc de $\dfrac{10}{40} = 0,25$.

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$\quad$

Exercice 9 : Modélisation $\quad$ 4 points

$ABCD$ est un carré de $3$ cm de côté. En joignant le sommet $A$ à un point $E$ du côté $[CD]$ on obtient le triangle $ADE$ et un trapèze rectangle $ABCE$.

Où faut-il placer le point $E$ pour que l’aire du triangle soit égale au tiers de celle du trapèze?

2nd-Devoir commun 2-ex91

 

Rappel : L’aire d’un trapèze est donnée par : $A=\dfrac{L+\ell}{2} \times h$ où $L$ et $\ell$ désignent la longueur de chaque base (les deux côtés parallèles du trapèze) et $h$ la hauteur.

2nd-Devoir commun 2-ex92

Correction Exercice 9

On pose $x=DE$.
Ainsi l’aire du triangle $ADE$ est $\dfrac{3x}{2}$ et l’aire du trapèze est $\dfrac{\left(3 + (3-x)\right) \times 3}{2} = \dfrac{3(6-x)}{2}$.
On veut :
$$\begin{align*}
\dfrac{3x}{2} = \dfrac{1}{3} \dfrac{3(6-x)}{2} & \ssi 3x = 6 -x \\\\
&\ssi 4x = 6 \\
&\ssi x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}
\end{align*}$$

[collapse]

$\quad$