2nd – DM – Droite d’Euler

DM – Équation de droites

Droite d’Euler

Énoncé

 

On se place dans un repère orthonormé $(O;I,J)$.

On considère les points $A,B$ et $K$ de coordonnées respectives $A(2;5)$, $B(2;-1)$ et $K(3;2)$.

  1. Faire une figure à compléter. On prendra $2$ grands carreaux ou 2 cm comme unité sur chaque axe.
    $\quad$
  2. On appelle $A’$, $B’$ et $J’$ les milieux des segments $[BJ]$, $[JA]$ et $[AB]$.
    a. Déterminer les coordonnées de ces trois points.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de chacune des trois médianes du triangle $ABJ$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées de son centre de gravité noté $G$.
    $\quad$
  3. a. Calculer les distances $KA$, $KB$ et $KJ$. Que représente $K$ dans le triangle $ABJ$?
    $\quad$
    b. Déterminer une équation des médiatrices des segments $[BJ]$, $[JA]$ et $[AB]$ qu’on notera respectivement $\Delta_1$, $\Delta_2$ et $\Delta_3$.
    $\quad$
  4. On note $d_1$, $d_2$ et $d_3$ les hauteurs issues respectivement issues de $A$, $B$ et $J$ dans le triangle $ABJ$.
    a. Déterminer les équations de ces hauteurs.
    $\quad$
    b. En déduire les coordonnées de l’orthocentre, noté $H$, du triangle $ABJ$.
    $\quad$
  5. Que peut-on dire des points $G$, $K$ et $H$? Le démontrer.
    $\quad$

Correction

  1. $\quad$
    $\quad$
  2. a. $\tiny \bullet$ $A’$ est le milieu du segment $[BJ]$ avec $B(2;-1)$ et $J(0;1)$.
    Donc $x_{A’}=\dfrac{2+0}{2}=1$
    et $y_{A’}=\dfrac{-1+1}{2}=0$
    D’où $A'(1;0)$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ $B’$ est le milieu du segment $[JA]$ avec $J(0;1)$ et $A(2;5)$.
    Donc $y_{B’}=\dfrac{0+2}{2}=1$
    et $y_{B’}=\dfrac{1+5}{2}=3$
    D’où $B'(1;3)$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ $J’$ est le milieu du segment $[AB]$ avec $A(2;5)$ et $B(2;-1)$.
    Donc $x_{J’}=\dfrac{2+2}{2}=2$
    et $x_{J’}=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$
    D’où $J'(2;2)$.
    $\quad$
    b. $\tiny \bullet$ Déterminons une équation de la médiane $[AA’]$ passant par les points $A(2;5)$ et $A'(1;0)$.
    Ces deux points n’ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{5-0}{2-1}=5$
    Ainsi l’équation est de la forme $y=5x+b$.
    Le point $A(2;5)$ appartient à cette droite. Donc $5=5\times 2 +b$.
    Soit $5=10+b$ et $b=5-10=-5$.
    Une équation de la médiane $[AA’]$ est donc $y=5x-5$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ Déterminons une équation de la médiane $[BB’]$ passant par les points $B(2;-1)$ et $B'(1;3)$.
    Ces deux points n’ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{-1-3}{2-1}=-4$
    Ainsi l’équation est de la forme $y=-4x+b$.
    Le point $B(2;-1)$ appartient à cette droite. Donc $-1=-4\times 2 +b$.
    Soit $-1=-8+b$ et $b=-1+8=7$.
    Une équation de la médiane $[BB’]$ est donc $y=-4x+7$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ Déterminons une équation de la médiane $[JJ’]$ passant par les points $J(0;1)$ et $J'(2;2)$.
    Ces deux points n’ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{2-1}{2-0}=\dfrac{1}{2}$
    Ainsi l’équation est de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
    La droite passant par le point $J(0;1)$, l’ordonnée à l’origine est égale à $1$.
    Une équation de la médiane $[JJ’]$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$
    c. Le centre de gravité est le point d’intersection des médianes. Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}y=-4x+7\\y=5x-5\end{cases}&\ssi \begin{cases} y=-4x+7\\-4x+7=5x-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=-4x+7\\12=9x\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{4}{3}\\y=-4\times \dfrac{4}{3}+7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi $G\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3}\right)$
  3. a.
    $\begin{align*} KA&=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2} \\
    &=\sqrt{1^2+(-3)^2}\\
    &=\sqrt{1+9}\\
    &=\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} KB&=\sqrt{(3-2)^2+\left((2-(-1)\right)^2}\\
    &=\sqrt{1^2+3^2}\\
    &=\sqrt{1+9}\\
    &=\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} KJ&=\sqrt{(3-0)^2+(2-1)^2}\\
    &=\sqrt{3^2+1^2}\\
    &=\sqrt{9+1}\\
    &=\sqrt{10}
    \end{align*}$
    Le point $K$ est donc à égale distance des sommets du triangle. Par conséquent le point $K$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABJ$.
    $\quad$
    b. Dans un triangle, la médiatrice d’un segment passe par le milieu du segment et le centre du cercle circonscrit du triangle.
    $\tiny \bullet$ La médiatrice du segment $[BJ]$ passe donc par le point $A'(1;0)$ et $K(3;2)$.
    Ces deux points n’ont pas la même abscisse. Une équation de la droite est alors de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{2-0}{3-1}=1$
    Une équation est donc du type $y=x+b$.
    Le point $A'(1;0)$ appartient à la médiatrice du segment $[BJ]$. Par conséquent $0=1+b$ soit $b=-1$.
    Une équation de $\Delta_1$ est donc $y=x-1$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ La médiatrice du segment $[JA]$ passe donc par le point $B'(1;3)$ et $K(3;2)$.
    Ces deux points n’ont pas la même abscisse. Une équation de la droite est alors de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{2-3}{3-1}=-\dfrac{1}{2}$
    Une équation est donc du type $y=-\dfrac{x}{2}+b$.
    Le point $B'(1;3)$ appartient à la médiatrice du segment $[BJ]$. Par conséquent $3=-\dfrac{1}{2}+b$ soit $b=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$.
    Une équation de$\Delta_2$ est donc $y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ La médiatrice du segment $[AB]$ passe donc par le point $J'(2;2)$ et $K(3;2)$.
    Ces deux points ont la même ordonnée.
    Une équation de $\Delta_3$ est donc $y=2$.
    $\quad$
  4. a. Une hauteur est une droite perpendiculaire à segment passant par le sommet opposé à ce segment.
    Pour un côté donné d’un triangle, la médiatrice et la hauteur sont parallèles.
    $\tiny \bullet$ $d_1$ et $\Delta_1$ ont donc le même coefficient directeur.
    Une équation de $d_1$ est alors de la forme $y=x+b$.
    Cette droite passe par le point $A(2;5)$ donc $5=2+b$ soit $b=5-2=3$.
    Une équation de $d_1$ est donc $y=x+3$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ $d_2$ et $\Delta_2$ ont donc le même coefficient directeur.
    Une équation de $d_1$ est alors de la forme $y=-\dfrac{x}{2}+b$.
    Cette droite passe par le point $B(2;-1)$ donc $-1=-1+b$ soit $b=-1+1=0$.
    Une équation de $d_2$ est donc $y=-\dfrac{x}{2}$.
    $\quad$
    $\tiny \bullet$ $d_3$ et $\Delta_3$ ont donc le même coefficient directeur.
    Une équation de $d_3$ est alors de la forme $y=b$.
    Cette droite passe par le point $J(0;1)$ donc $b=1$.
    Une équation de $d_3$ est donc $y=1$.
    $\quad$
    b. L’orthocentre est le point de concours des hauteurs. Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases}y=1\\y=x+3\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=1\\1=x+3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=1\\x=-2\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent $H(-2;1)$.
    $\quad$
  5. Les points $G\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3}\right)$, $K(3;2)$ et $H(-2;1)$ semblent alignés sur la figure.
    Les points $K$ et $G$ n’ont pas la même abscisse.
    Le coefficient directeur de la droite $(KG)$ est donc :
    $a_1=\dfrac{\dfrac{5}{3}-2}{\dfrac{4}{3}-3}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{5}$
    Les points $K$ et $H$ n’ont pas la même abscisse.
    Le coefficient directeur de la droite $(KH)$ est donc :
    $a_2=\dfrac{1-2}{3-(-2)}=\dfrac{1}{5}$
    Les droites $(KG)$ et $(KH)$ ont le même coefficient directeur.
    Par conséquent les points $G$, $K$ et $H$ sont alignés.
    $\quad$