2nd – Equations – Ex 2

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^2 + 2x – 12$

  1. Montrer que $f(x) = 2(x – 2)(x + 3)$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x) = 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{25}{2}$.
    $\quad$
  3. Choisir l’expression la mieux adaptée pour répondre aux questions :
    a. Résoudre $f(x) = 0$.
    $\quad$
    b. Calculer $f\left( \sqrt{3}\right)$.
    $\quad$
    c. Résoudre $f(x) = -\dfrac{25}{2}$.

Correction

  1. $2(x – 2)(x + 3) $ $= 2(x^2 + 3x – 2x – 6)$ $=2(x^2 + x – 6)$ $=2x^2 + 2x – 12$ $=f(x)$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right) – \dfrac{25}{2} & =2\left(x^2 + x + \dfrac{1}{4}\right) – \dfrac{25}{2} \\\\
    &= 2x^2 + 2x + \dfrac{1}{2} – \dfrac{25}{2}\\\\
    &=2x^2 + 2x – 12 \\\\
    &=f(x)
    \end{align}$
    $\quad$
  3. a. On choisit l’expression factorisée.
    $f(x) = 0 \Leftrightarrow 2(x – 2)(x + 3) =0$ $ \Leftrightarrow (x – 2)(x + 3) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    $x – 2 = 0$ ou $x + 3 = 0$
    $x = 2$ ou $x = -3$
    L’équation possède donc deux solutions : $2$ et $-3$.
    $\quad$
    b. On utilise l’expression fournie par l’énoncé.
    $f\left( \sqrt{3}\right)$ $ = 2\left( \sqrt{3}\right)^2 + 2\left( \sqrt{3}\right) – 12$ $=2 \times 3 + 2\left( \sqrt{3}\right) – 12$ $=2\left( \sqrt{3}\right) – 6$
    $\quad$
    c. On utilise l’expression trouvée à la question 3
    $f(x) = -\dfrac{25}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right)2 – \dfrac{25}{2} = -\dfrac{25}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right) – \dfrac{25}{2}^2 = 0$ $\Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}$