2nd – équations – Ex 4

Correction

1. $\quad$
   $\begin{align} (-x + 2)^2 = (2x + 7)^2 & \Leftrightarrow (-x + 2)^2 – (2x + 7)^2 = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \left[(-x + 2) – (2x + 7) \right] \left[(-x + 2) + (2x + 7)\right] = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (-3x – 5)(x + 9) = 0
   \end{align}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.
   $-3x – 5 = 0$ ou $x + 9 = 0$
   $x = -\dfrac{5}{3}$ ou $x = -9$
   Les solutions de l’équation sont $-9$ et $-\dfrac{5}{3}$.
   $\quad$
2. $(2x – 1)^2 + 36 = 0 \Leftrightarrow (2x – 1)^2 = -36$
   Un carré étant toujours positif, cette équation ne possède aucune solution.
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align} (3x – 2)^2 = 16x^2 & \Leftrightarrow (3x – 2)^2 – 16x^2 = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (3x – 2)^2 – (4x)^2 = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \left[(3x – 2) – 4x\right]\left[(3x – 2) + 4x\right] = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (-x – 2)(7x – 2) = 0 \\\\
   \end{align}$
   Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.
   $-x – 2 =0$ ou $7x – 2 = 0$
   $x= 2$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
   Les solutions de l’équation sont $2$ et $\dfrac{2}{7}$
   $\quad$
4. $x^2 – 10x = -25$ $\Leftrightarrow x^2 – 10x + 25 = 0$ $\Leftrightarrow (x – 5)^2 = 0$ $\Leftrightarrow x  = 5$.
   La solution de l’équation est $5$.
   $\quad$
5. $\quad$
   $\begin{align} \dfrac{2x – 1}{x + 4} = 1 &\Leftrightarrow \dfrac{2x – 1}{x + 4} – 1 =0 \\\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{2x – 1}{x + 4} – \dfrac{x + 4}{x + 4} = 0 \\\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{x – 5}{x + 4} = 0
   \end{align}$
   Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule (là où la fraction est définie).
   On veut donc que $x – 5 = 0$ soit $x =5$.
   La solution de l’équation est $5$
   $\quad$
6. $\quad$
   $\begin{align} \dfrac{-x + 2}{x + 1} = 2 & \Leftrightarrow \dfrac{-x + 2}{x + 1} – 2 = 0\\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{-x + 2}{x + 1} – \dfrac{2(x + 1}{x + 1} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{-3x}{x + 1} = 0
   \end{align}$
   Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule (là où la fraction est définie).
   On veut donc que $-3x = 0$ soit $x = 0$.
   La solution de l’équation est $0$.
   $\quad$
7. $\quad$
   $\begin{align} \dfrac{x + 2}{x – 3} = \dfrac{x – 4}{x + 5} & \Leftrightarrow \dfrac{x + 2}{x – 3} – \dfrac{x – 4}{x + 5} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{(x + 2)(x + 5) – (x – 4)(x – 3)}{(x – 3)(x + 5)} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 5x + 2x + 10 – (x^2 – 3x – 4x + 12)}{(x – 3)(x  + 5)}= 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 7x + 10 – (x^2 – 7x + 12)}{(x – 3)(x + 5)} = 0 \\\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{14x – 2}{(x – 3)(x + 5)} = 0
   \end{align}$
   Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule (là où la fraction est définie).
   On veut donc que $14x – 2 = 0$ soit $x = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7}$
   La solution est $\dfrac{1}{7}$.